что такое перескок вектора движения
Векторы ускорения и скорости. Ускорение и сила. Направления тангенциального и нормального ускорений
Как известно, любая физическая величина относится к одному из двух типов, она является либо скалярной, либо векторной. В данной статье рассмотрим такие кинематические характеристики как скорость и ускорение, а также покажем, куда направлены векторы ускорения и скорости.
Что такое скорость и ускорение?
Обе величины, названные в этом пункте, являются важными характеристиками любого вида движения, будь то перемещение тела по прямой линии или по криволинейной траектории.
Вам будет интересно: Дистанционное образование в России: история, статистика и преимущества
Скоростью называется быстрота изменения координат во времени. Математически эта величина равна производной по времени пройденного пути, то есть:
Здесь вектор l¯ направлен от начальной точки пути к конечной.
В свою очередь ускорение – это скорость, с которой изменяется во времени сама скорость. В виде формулы оно может быть записано так:
Очевидно, что взяв вторую производную от вектора перемещения l¯ по времени, мы также получим значение ускорения.
Поскольку скорость измеряется в метрах в секунду, то ускорение, согласно записанному выражению, измеряется в метрах в секунду в квадрате.
Куда направлены векторы ускорения и скорости?
Вектор скорости тела направлен в сторону движения всегда, независимо от того, замедляется или ускоряется тело, движется оно по прямой или по кривой. Если говорить геометрическими терминами, то вектор скорости направлен по касательной к точке траектории, в которой в данный момент находится тело.
Вектор ускорения точки материальной или тела не имеет ничего общего со скоростью. Этот вектор направлен в сторону изменения скорости. Например, для прямолинейного движения величина a¯ может как совпадать по направлению с v¯, так и быть противоположной v¯.
Действующая на тело сила и ускорение
Мы выяснили, что вектор ускорения тела направлен в сторону изменения вектора скорости. Тем не менее не всегда можно легко определить, как меняется скорость в данной точке траектории. Более того, для определения изменения скорости необходимо выполнить операцию разности векторов. Чтобы избежать этих трудностей в определении направления вектора a¯, существует еще один способ быстро его узнать.
Ниже записан знаменитый и хорошо известный каждому школьнику закон Ньютона:
Формула показывает, что причиной возникновения ускорения у тел является действующая на них сила. Поскольку масса m является скаляром, то вектор силы F¯ и вектор ускорения a¯ направлены одинаково. Этот факт следует запомнить и применять на практике всегда, когда возникает необходимость в определении направления величины a¯.
Если на тело действуют несколько разных сил, тогда направление вектора ускорения будет равно результирующему вектору всех сил.
Движение по окружности и ускорение
Когда тело перемещается по прямой линии, то ускорение направлено либо вперед, либо назад. В случае же движения по окружности ситуация усложняется тем, что вектор скорости постоянно меняет свое направление. В виду сказанного, полное ускорение определяется двумя его составляющими: тангенциальным и нормальным ускорениями.
Тангенциальное ускорение направлено точно так же, как вектор скорости, или против него. Иными словами, эта компонента ускорения направлена вдоль касательной к траектории. Ускорение тангенциальное описывает изменение модуля самой скорости.
Ускорение нормальное направлено вдоль нормали к данной точке траектории с учетом ее кривизны. В случае движения по окружности вектор этой компоненты указывает на центр, то есть нормальное ускорение направлено вдоль радиуса вращения. Эту компоненту часто называют центростремительной.
Полное ускорение представляет собой сумму названных компонент, поэтому его вектор может быть направлен произвольным образом по отношению к линии окружности.
Если тело совершает вращение без изменения линейной скорости, то существует отличная от нуля только нормальная компонента, поэтому вектор полного ускорения направлен к центру окружности. Заметим, что к этому центру также действует сила, удерживающая тело на его траектории. Например, сила гравитации Солнца удерживает нашу Землю и другие планеты на своих орбитах.
Траектория
Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.
Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.
Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.
Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.
Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.
Вектор перемещения
Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.
Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.
Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы Траектория и Путь), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.
Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия.
Правило сложения векторов
Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).
Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.
На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:
а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма
Проекции вектора перемещения
При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения 
(рис. 1.3).
Выберем ось ОХ так, чтобы вектор 
лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно Аx и Вx. Длина отрезка АxВx на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть
Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.
Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:
Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).
Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.
Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.
Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х0 и у0, то есть А(х0, у0). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.
Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.
Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:
На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как
По теореме Пифагора
Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:
Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.
Способы передвижения компьютерных персонажей (часть 2)
В предыдущей статье я рассказал о видах передвижений и перемещений в плиточном мире. Сегодня расскажу подробней о векторных способах. Как и в прошлый раз расскажу теорию, объясню суть и покажу пример реализации перемещений на языке C++.
Перемещение по вектору, один из способов реализации движения. Мир уже не разделен на клетки, и предоставляет куда больше свободы для передвижений. Координаты могут задаваться с большой точностью (не только целые, но и float значения), что позволяет реализовывать весьма реалистичные движения. Вектор – это направление, в котором будет осуществляться движение нашего агента. Проще всего его можно задать двумя значениями, например V(10,5). Это значит что при перемещении точки, находящейся в координате A(1,1) по вектору V(10,5) положение объекта будет находиться в A+V = C(1+10,1+5) = C(11,6). Значения вектора могут быть также отрицательными.
Для изменения направления движения достаточно сложить текущий вектор с новым. Например, имея вектор V1(2,6) мы хотим изменить его, прибавив вектор V2(3,-3), новый вектор движения будет V1+V2 = V3(2+3),6+(-3)) = V3(5,3). Графически это можно изобразить следующим образом: 
Вернемся к передвижениям по вектору. Как уже говорил, чтобы переместить объект на определенный вектор, нужно сложить координаты объекта со значениями вектора: Pos(x,y)+V(a,b) = NewPos(x+a,y+b). Чем больше вектор – тем дальше переместиться наш объект. Это может создавать ряд трудностей, связанных с «проскакиванием» препятствий. Имея достаточно большой шаг, объект запросто может пропустить мелкие объекты. Существует много разных способов устранения этого недостатка, но они не входят в рамки статьи.
Все же такой подход вполне может иметь право на существование, и приведу пример реализации движения объекта по вектору. Сделаем класс вектор – содержащий два значения. И класс моб, который будет двигаться по заданному вектору. Для изменения вектора движения создадим функцию, куда будем помещать новый вектор.
Подчеркну, что это один из возможных вариантов реализации, предоставлен исключительно для лучшего понимания способов реализации. В предыдущей статье я указывал, что есть два основных способа движения – ситуационный и целевой. Рассмотрим особенности их реализации в случае векторного движения.
Ситуативный способ
У нашего моба есть вектор движения, по которому он будет двигаться до тех пор, пока не столкнется с препятствием. Тогда он изменит его определенным образом и продолжит движение, уже в новом направлении. Это можно реализовать обычными условиями, нейронными сетями и т.д. Просчеты столкновений в векторном мире немного сложнее, чем в плиточном, поэтому опустим их расчеты. Предположим, что есть некая функция, которая говорит нам, есть впереди препятствие или нет (bool CanMove()). В таком случае набором действий нашего моба может быть прибавление вектора, поворачивающего его в какую-нибудь сторону от препятствия, со скоростью, пропорциональной расстоянию до преграды (float DistanceToBarrier()). Функция движения приобретет вид:
Конечно вектор поворота в моем примере не совсем верный, потому что направления поворота при прибавлении вектора V(1,0) будет зависеть от текущего направления движения. Но суть, я думаю, понятна.
Целевые способы
Для реализации целевых способов используются так же шаблоны (заготовки), ключевые точки (waypoints) и т.д. Шаблоны представляют собой обычный массив векторов, по которым движется наш объект. Но каждый шаг обозначать своим вектором неудобно из-за размеров пути, поэтому используют ключевые точки. Суть заключается в том, чтобы агент двигался по вектору определенное время (до определенной точки), затем сменил направление движения на новый вектор, и так до следующей точки. Добавим массив точек и массив направлений, для удобства будем использовать один и тот же класс Vector.
Этот метод достаточно широко используется, особенно там, где необходимо более точно и красиво передать движения. А это большинство современных 3D игр. В следующей, и последней, статье я расскажу о смешанных способах реализации движения, совмещающие как плиточные так и векторные перемещения.
Кинематика
Прямолинейное равномерное движение
Движение по прямой, при котором тело проходит равные участки пути за равные промежутки времени называют прямолинейным равномерным. Это любое движение с постоянной скоростью.
Например, если у вас ограничение скорости на дороге 60 км/ч и у вас нет никаких препятствий на пути, то вы скорее всего будете двигаться прямолинейно равномерно.
Мы можем охарактеризовать это движение следующими величинами.
Скалярные величины (определяются только значением)
Векторные величины (определяются значением и направлением)
Проецирование векторов
Векторное описание движения полезно, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения.
Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами — проекциями векторов.
Если вектор сонаправлен с осью, то его проекция равна длине вектора. А если вектор противоположно направлен оси — проекция численно равна длине вектора, но отрицательна. Если вектор перпендикулярен — его проекция равна нулю.
Скорость может определяться по вектору перемещения и пути, только это будут две разные характеристики. Скорость — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения, а средняя путевая скорость — это отношение длины пути ко времени, за которое путь был пройден.
Скорость
→ →
V = S/t
Средняя путевая скорость
V ср.путевая = S/t
V ср.путевая — средняя путевая скорость [м/с]
В чем разница между перемещением и путем?
Перемещение — это вектор, проведенный из начальной точки в конечную, а путь — это длина траектории.
Задача
Найдите, с какой средней путевой скоростью должен двигаться автомобиль, если расстояние от Санкт-Петербурга до Великого Новгорода в 210 километров ему нужно пройти за 2,5 часа. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Возьмем формулу средней путевой скорости
V ср.путевая = 210/2,5 = 84 км/ч
Ответ: автомобиль будет двигаться со средней путевой скоростью равной 84 км/ч
Уравнение движения
Основной задачей механики является определение положения тела в данный момент времени. Для решения этой задачи помогает уравнение движения, то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t).
Уравнение движения
x(t) = x0 + vxt
x(t) — искомая координата [м]
x0 — начальная координата [м]
vx — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]
Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v
