что такое пересечение треугольников

Ззамечательные точки треугольника — свойства, применение и примеры решения

Замечательные точки треугольника не просто так описываются таким прилагательным. Для многих учеников, а начинают знакомиться с этим понятием в 8 классе, эта тема кажется наиболее интересной и простой в курсе геометрии, поэтому многочисленные теоремы и свойства запоминаются достаточно просто.

Итак, какие же четыре точки называются замечательными? Перечислим их:

точку пересечения медиан треугольника;

точку пересечения биссектрис треугольника;

точку пересечения высот треугольника;

точку пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Все точки обладают своими особенностями и свойствами, про всех есть свои теоремы и следствия из них. Кроме того, существует свойство, которое справедливо сразу для четырёх этих точек. Вне зависимости от того, медиана ли это, биссектриса или высота, все они пересекаются в одной точке.

Замечательные точки характерны не только для треугольников. Например, в трапеции так же четыре замечательные точки.

Теперь рассмотрим основные положения, связанные с замечательными точками треугольника.

Точка пересечения медиан треугольника

Из курса геометрии известно определение медианы треугольника.

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

На данном рисунке она обозначена прямой m, которая исходит из вершины А и заканчивается точкой М, являющейся центром стороны ВС.

Теперь сделаем чертёж треугольника, на котором укажем замечательную точку пересечения медиан.

Для начала постройте абсолютно любой треугольник и обозначьте его буквами А, В и С.

На отрезке АВ отметьте центр С1, на стороне ВС центр А1, на АС центр В1.

Проведите 3 медианы из вершин. Из угла А – медиана АА1,из угла В — медиана ВВ1, из угла С — медиана СС1.

Должно получиться так, как показано на рисунке: три проведённые линии пересекаются в одной точке G (что является их свойством).

Изучим следующее свойство точки пересечения трёх медиан треугольника.

Отрезки медианы треугольника, разделённой замечательной точкой, относятся друг к другу как 2:1. Проследим это свойство на примере используемого нами рисунка:

A1G = 2AG, B1G = 2BG, C1G = 2CG.

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

Точка пересечения биссектрис треугольника

Прежде чем мы приступим к изучению следующей точки, рассмотрим теорему о биссектрисе, проведённой из вершины неразвёрнутого угла, и докажем её.

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

Рассмотрим пример. Дано:

угол ВАС Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника

Для начала вспомним определение серединного перпендикуляра. Теорема о серединном перпендикуляре:

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

Сделаем краткое доказательство. Соединим концы отрезка с вершиной серединного отрезка. Докажем равенство полученных треугольников, из чего следует АD = DB.

Построим эту точку.

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

В треугольнике АВС отмечаем середины его сторон. Проводим три серединных перпендикуляра КО, LO, МО и отмечаем точку их пересечения О.

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

Точка пересечения высот треугольника

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

Проведём три высоты в ∆АВС, все они пересекутся в т. Н. Точка Н по отношению к ∆АВС – ортоцентр.

Свойство высот треугольника:

если все три высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, то это ортоцентр;

СH * HНС
= АH * АНА = ВH * ВНВ.

Ортоцентр может располагаться внутри треугольника, снаружи или совпадать с одной из вершин.

На рисунке показано расположение ортоцентра в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках.

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

Пример решения задач с построением

Замечательные точки треугольника замечательные именно потому, что они имеют много полезных для решения задач свойств. Рассмотрим пример решения задачи на эту тему.

Серединный перпендикуляр в ∆АВС, опущенный к АС, пересекает ВС в т. В. Найти BD, DC, если AD = 5 см BC = 9 см.

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

Сделаем дополнительное построение – серединный отрезок КD к прямой АС. Тогда DK это и высота, и медиана в ∆АВС. Если в треугольнике проведена прямая, которая является высотой и медианой, то он равнобедренный. Значит, AD = DC = 5 см.

Ответ: DC = 5 см, ВD = 4 см.

Источник

Чертежик

Метки

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

Точки пересечения треугольников пошаговое выполнение

Точки пересечения треугольников определяются в следующем порядке:

1.) Согласно заданию строятся точки по координатам.

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

2.) Теперь важным шагом является определение плоскости относительно которой будем искать точки пересечения треугольников.

Вы можете сказать: «можно найти точки относительно плоскости АВС», но нет. Почему!? Я объясню, посмотрев на рисунок, расположенный внизу, можно увидеть что треугольник D2E2F2, а точнее две стороны пересекают треугольник А2В2С2 в четырех точках, соответственно используем треугольник D2E2F2,как опорную плоскость.

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

3.) Сторона E2F2 пересекает стороны B2C2 и A2C2 в точках 4 2 и 3 2. Опускаем их на нижний рисунок и обозначаем 4 1 и 3 1.

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

4.) Соединяются точки 3 1 и 4 1.

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

5.) Продливается прямая 3 1 4 1 до пересечения с отрезком E1F1. В месте пересечения ставим точку и обозначаем Н.

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

6.) Точки P1 и H соединяются. Полученная прямая P1H пересекает отрезок А2С2 в точке K1 (найдена вторая точка).

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

7.) Переносятся точки P1 и K1, расположенные на отрезках D1E1 и E1F1, на отрезки D2E2 и E2F2. И обозначаются P2 и K2.

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

8.) Соединяются P2 и K2.

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

9.) А теперь главный момент: указать видимые и невидимые стороны.

Посмотрите на рисунок снизу. На нем точки D, F, B, C и E находятся в двух проекциях «свободно», но не точка A. Соответственно, относительно ее и необходимо начинать чертить линии.

что такое пересечение треугольников. Смотреть фото что такое пересечение треугольников. Смотреть картинку что такое пересечение треугольников. Картинка про что такое пересечение треугольников. Фото что такое пересечение треугольников

Пример выполненной работы на эту тему смотрите здесь.

Немного добавлю по этой статье: «Точки пересечения треугольников»

По своему опыту скажу: «чтобы начертить подобный чертеж, необходимо обладать пространственным воображением» и понимать, относительно какой плоскости отталкиваться для решения подобной задачи. Но благодаря этой статьи надеюсь у Вас получится разобраться с темой: пересечение плоских фигур.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *