что такое переместительное и сочетательное свойство сложения
Законы математики
В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.
У математики есть свои законы, которые тоже следует соблюдать. Несоблюдение законов математики приводит в лучшем случае к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае приводит к тому, что падают самолёты, зависают компьютеры, улетают крыши домов от сильного ветра, снижается качество связи и тому подобные нехорошие явления.
Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства нам знакомы со школы. Но не мешает вспомнить их ещё раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.
В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.
Переместительный закон сложения
Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:
Если положить на одну чашу весов 10 килограмм яблок и на другую чашу так же положить 10 килограмм яблок, то весы выровнятся, и не важно, что яблоки в пакетах лежат вразброс. Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится. Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.
Таким образом, между выражениями 5 + 2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма равна:
Полагаем что, вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:
Сочетательный закон сложения
Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений.
Рассмотрим сумму из трёх слагаемых:
Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая тем самым, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:
2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10
Либо можно сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2
2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10
Видно, что в обоих случаях получается один и тот же результат.
Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:
Переместительный закон умножения
Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.
В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
5 × 2 = 2 × 5
Запишем переместительный закон умножения с помощью переменных:
Сочетательный закон умножения
Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.
Рассмотрим следующее выражение:
Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4:
Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2
Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
Запишем сочетательный закон умножения с помощью переменных:
a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)
Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4
Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке следования действий:
Распределительный закон умножения
Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.
Рассмотрим следующее выражение:
Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках. Выполняем:
В главном выражении (3 + 5) × 2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку:
8 × 2 = 16
Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое, которое в скобках, нужно умножить на 2, затем сложить полученные результаты:
Мы рассмотрели распределительный закон умножения слишком развёрнуто и подробно. В школе этот пример записали бы очень коротко. К такой записи тоже надо привыкать. Выглядит она следующим образом:
(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16
(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16
Теперь запишем распределительный закон умножения с помощью переменных:
(a + b) × c = a × c + b × c
Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Начало у него выглядит так: (a + b) × c.
Если рассматривать выражение в скобках (a + b), как единое целое, то это будет множимое, а переменная с будет множителем, поскольку соединены они знаком умножения ×
Из переместительного закона умножения мы узнали, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится.
c × (a + b) = c × a + c × b
Пример 2. Найти значение выражения 5 × (3 + 2)
Умножим число 5 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:
5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25
Пример 3. Найти значение выражения 6 × (5 + 2)
Умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:
6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42
Если в скобках располагается не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. Затем из полученного первого числа вычесть второе число. В принципе, ничего нового.
Пример 4. Найти значение выражения 5 × (6 − 2)
Умножим 5 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:
5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20
Пример 5. Найти значение выражения 7 × (3 − 2)
Умножим 7 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:
Сложение. Свойства переместительного и сочетательного законов.
Сложение натуральных чисел.
Прибавить одно число к другому довольно просто. Рассмотрим пример, 4+3=7. Это выражение означает, что к четырем единицам добавили три единицы и в итоге получили семь единиц. 
Числа 3 и 4, которые мы сложили называется слагаемыми. А результат сложение число 7 называется суммой.
Сумма — это сложение чисел. Знак плюс “+”. 
В буквенном виде этот пример будет выглядеть так:
a+b=c
Компоненты сложения:
a — слагаемое, b — слагаемые, c – сумма.
Если мы к 3 единицам добавим 4 единицы, то в результате сложения получим тот же результат он будет равен 7. 
Из этого примера делаем вывод, что как бы мы не меняли местами слагаемые ответ остается неизменным:
4+3=3+4
Называется такое свойство слагаемых переместительным законом сложения.
Переместительный закон сложения.
От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
В буквенной записи переместительный закон выглядит так:
a+b=b+a
Если мы рассмотрим три слагаемых, например, возьмем числа 1, 2 и 4. И выполним сложение в таком порядке, сначала прибавим 1+2, а потом выполним сложение к получившейся сумме 4, то получим выражение:
(1+2)+4=7
Можем сделать наоборот, сначала сложить 2+4, а потом к полученной сумме прибавить 1. У нас пример будет выглядеть так:
1+(2+4)=7
Ответ остался прежним. У обоих видов сложения одного и того же примера ответ одинаковый. Делаем вывод:
(1+2)+4=1+(2+4)
Это свойство сложения называется сочетательным законом сложения.
Переместительный и сочетательный закон сложения работает для всех неотрицательных чисел.
Сочетательный закон сложения.
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
(a+b)+c=a+(b+c)
Сочетательный закон работает для любого количества слагаемых. Этот закон мы используем, когда нам нужно сложить числа в удобном нам порядке. Например, сложим три числа 12, 6, 8 и 4. Удобнее будет сначала сложить 12 и 8, а потом прибавить к полученной сумме сумму двух чисел 6 и 4.
(12+8)+(6+4)=30
Свойство сложения с нулем.
При сложении числа с нулем, в результате сумма будет тем же самым числом.
В буквенном выражение сложение с нулем будет выглядеть так:
a+0=a
0+a=a
Вопросы по теме сложение натуральных чисел:
Таблица сложения, составьте и посмотрите как работает свойство переместительного закона?
Таблица сложения от 1 до 10 может выглядеть так:
Второй вариант таблицы сложения.
Если посмотрим на таблицы сложения, видно как работает переместительный закон.
В выражении a+b=c суммой, что будет являться?
Ответ: сумма — это результат сложения слагаемых. a+b и с.
В выражении a+b=c слагаемыми, что будет являться?
Ответ: a и b. Слагаемые – это числа, которые мы складываем.
Что произойдет с числом если к нему прибавить 0?
Ответ: ничего, число не поменяется. При сложении с нулем, число остается прежнем, потому что нуль это отсутствие единиц.
Сколько слагаемых должно быть в примере, чтобы было можно применить сочетательный закон сложения?
Ответ: от трех слагаемых и больше.
Запишите переместительный закон в буквенном выражении?
Ответ: a+b=b+a
Примеры на задачи.
Пример №1:
Запишите ответ у представленных выражений: а) 15+7 б) 7+15
Ответ: а) 22 б) 22
Пример №2:
Примените сочетательный закон к слагаемым: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Ответ: 20.
Пример №3:
Решите выражение:
а) 5921+0 б) 0+5921
Решение:
а) 5921+0 =5921
б) 0+5921=5921
Свойства сложения и вычитания
Свойства (или законы) арифметических действий на числовых примерах мы рассматривали в теме «Законы арифметики» для начальной школы.
В 5 классе законы арифметики записываются с помощью буквенных выражений. Поэтому теперь мы рассмотрим эти и другие свойства в виде буквенных выражений.
Свойства сложения
Переместительное свойство сложения
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
В буквенном виде свойство записывается так:
Сочетательное свойство сложения
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
Так как результат сложения трёх чисел не зависит от того как поставлены скобки, то скобки можно не ставить и писать просто « a + b + с ».
Переместительное и сочетательное свойство сложения позволяют сформулировать правило преображения сумм.
При сложении нескольких чисел их можно как угодно объединять в группы и переставлять.
Свойство нуля при сложении
Сумма двух натуральных чисел всегда больше каждого из слагаемых. Но это не так, если хотя бы одно из слагаемых равно нулю.
Если к числу прибавить нуль, получится само число.
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.
Скобки в выражении « (a − b) − c » не имеют значения и их можно опустить.
Свойство вычитания числа из суммы
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.
Свойство нуля при вычитании
Если из числа вычесть нуль, получится само число.
Если из числа вычесть само число, то получится нуль.
Математика. 2 класс
Конспект урока
Математика, 2 класс
Урок № 16. Свойства сложения. Применение переместительного и сочетательного свойств сложения
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— Что такое сочетательное свойство сложения?
-В каких случаях можно использовать свойства сложения?
Переместительное свойство сложения: слагаемые можно переставлять местами, при этом значение суммы не изменится.
Сочетательное свойство сложения: результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой.
Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):
1. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ М. И. Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова и др. –8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с.44-47
2. Математика. КИМы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций/ Глаголева Ю.И., Волкова А.Д.-М.: Просвещение, Учлит, 2017, с.18, 19
3. Математика. Проверочные работы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций/ Волкова С.И.-М.: Просвещение, 2017.- с.28, 29
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Сравним выражения и их значения:
Сумма чисел шесть и девять равна сумме чисел девять и шесть.
Сумма чисел сорок пять и пять равна сумме чисел пять и сорок пять.
Значения выражений равны, так как от перестановки слагаемых значение суммы не меняется. Вспомним, как в математике называется данное свойство сложения?
Правильно, оно называется переместительным свойством сложения.
В школьном спортзале 3 волейбольных мяча, 5 баскетбольных мячей и 4 футбольных мяча. Сколько всего мячей в спортзале?
Первый способ решения.
Сначала узнаем, сколько волейбольных и баскетбольных мячей, затем прибавим число футбольных мячей. Запишем: к сумме чисел три и пять прибавить четыре, получится двенадцать.
Второй способ решения.
Прибавим к числу волейбольных мячей сумму баскетбольных и футбольных мячей. Запишем: к трем прибавить сумму чисел пять и четыре равно двенадцать.
В обоих случаях получили одинаковый результат, значит, выражения равны между собой. Можем записать так: (3+5)+4=3+(5+4)
Теперь ты знаешь еще одно свойство сложения: результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой. Это свойство называется сочетательным свойством сложения.
Знание этих двух свойств сложения позволит нам решать примеры на сложение удобным способом.
Решим выражение: 1+7+9+3=?
Мы знаем, что слагаемые можно менять местами и соседние слагаемые заменять их суммой. Воспользуемся свойствами сложения и найдем сумму.
В данном случае удобно сложить попарно 1 и 9, 7 и 3. А затем сложить полученные результаты. Получим 20.
Делаем вывод: используя переместительное и сочетательное свойства сложения можно складывать числа в любом порядке, как удобнее.
1. Вычислите суммы удобным способом
30 + 3 + 7 + 40 = _________ 4 + 10 + 6 + 70=_______________
1. 30 + 3 + 7 + 40 = (3+7)+(30+40)=80 2. 4 + 10 + 6 + 70= (10+70)+(4+6)
2. Совместите название математического свойства с его значением и выражением
Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой.
Слагаемые можно переставлять местами, при этом значение суммы не изменится.
Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой.
Слагаемые можно переставлять местами, при этом значение суммы не изменится.
Свойства сложения и вычитания
Свойства сложения
Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число
Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.
Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.
Сумма — это число, которое получается в результате сложения.
Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:
При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.
Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.
Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.
Свойства вычитания
Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.
Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.
Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
Вычитаемое — это число, которое вычитают.
Разность — это число, которое получается в результате вычитания.
