что такое параллелепипед и параллелограмм

Параллелепипед

Параллелепипед — тело строгих геометрических форм, противоположные грани которого находятся в параллельных плоскостях. Все плоскости, или грани, включая основание, параллелограммы. Научно определение параллелепипеда — призма, основанием которой служит параллелограмм. Часто ученики затрудняются ответить, чем отличается параллелограмм от параллелепипеда. Отличие в том, что параллелограмм — фигура плоская, двухмерная, а параллелепипед — объемное геометрическое тело, протяженное в трех измерениях, имеющее ширину, высоту и длину. Как выглядит параллелепипед, посмотрите на рисунке:

Виды параллелепипеда

Параллелепипед — многогранник. Его ограничивают шесть плоскостей, два основания, и четыре боковые грани. Линии, по которым соединяются грани, называются ребрами, а точки, в которых сходятся три ребра — вершинами. У фигуры 8 вершин.

Если грани имеют общее ребро, то их называют смежными, а те, у которых такого ребра нет — противоположными. Это же касается и вершин, если они не лежат на одной грани, то их тоже называют противоположными. Высота, ширина и длина прямоугольного параллелепипеда называются измерениями, они выходят из одной вершины. Если фигура не прямоугольная, то измерения и ребра не совпадают.

При построении параллелепипеда на рисунке можно провести ряд дополнительных линий, которые помогают при вычислении объема, площади поверхности, неизвестных длин и других параметров. Если линии проходят через противоположные вершины, то их называют диагоналями. У параллелепипеда их насчитывается четыре.

В геометрии выделяют несколько типов параллелепипедов, которые отличаются некоторыми свойствами:

Свойства параллелепипеда

Для всех типов параллелепипедов можно выделить общие свойства, характеризующие фигуру. Таких свойств немного, запомнить их не сложно:

Твердо запомнив эти свойства несложно решить большинство задач школьной геометрии.

Основные формулы параллелепипеда

Кроме свойств этой фигуры нужно запомнить ряд несложных формул. Конечно, в процессе решения задачи можно вывести эти выражения самостоятельно. Но часто на это нет времени, лучше воспользоваться готовыми шаблонами.

Формула площади боковой поверхности прямого параллелепипеда — одна из самых простых. S_б=Р_о∙h. В этой формуле только три величины, но одна из них составная:

H – высота параллелепипеда;

Р – периметр, АВ+ВС+АD+ CD.

Воспользоваться такой формулой можно только в том случае, если известны длины сторон основы и высота.

Площадь полной поверхности параллелепипеда определяется по формуле S_п=S_б+2S_о.

Как найти площадь боковой поверхности мы знаем из предыдущего пункта, а площадь S_о рассчитывается в зависимости от вида четырехугольника, лежащего в основании.

Объем прямого параллелепипеда тоже найти несложно, для этого достаточно умножить площадь основания на высоту. Объём V=S_о∙h

Формулы для прямоугольного параллелепипеда тоже не отличаются сложностью:

S_б=2c(a+b) в этой формуле а и b – стороны основания, с – высота, равна длине бокового ребра.

Площадь полной поверхности равна S_п=2(ab+bc+ac);

Объем V=abc, то есть, произведение всех трех измерений.

Когда же приходится вычислять площади и объем произвольного параллелепипеда, то показанные формулы не всегда срабатывают. Необходимо использовать законы векторной геометрии. При вычислении объема параллелепипеда через длину диагонали, необходимо использовать проекции на разные оси. Видимая простота формул — это только основа для сложной работы, требующей пространственного воображения и смекалки.

Источник

Геометрические фигуры. Параллелепипед.

Параллелепипед — призма, основанием которой является параллелограмм либо (равносильно) многогранник с шестью гранями, являющимися параллелограммами. Шестигранник.

Параллелограммы, из которых состоит параллелепипед являются гранями этого параллелепипеда, стороны этих параллелограммов являются ребрами параллелепипеда, а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда. У параллелепипеда каждая грань является параллелограммом.

Как правило выделяют любые 2-е противолежащие грани и называют их основаниями параллелепипеда, а оставшиеся грани — боковыми гранями параллелепипеда. Ребра параллелепипеда, которые не принадлежат основаниям являются боковыми ребрами.

2 грани параллелепипеда, которые имеют общее ребро являются смежными, а те, которые не имеют общих ребер — противоположными.

Отрезок, который соединяет 2 вершины, которые не принадлежат 1-ой грани является диагональю параллелепипеда.

Длины ребер прямоугольного параллелепипеда, которые не параллельны, являются линейными размерами (измерениями) параллелепипеда. У прямоугольного параллелепипеда 3 линейных размера.

Типы параллелепипеда.

Существует несколько видов параллелепипедов:

Прямым является параллелепипед с ребром, перпендикулярным плоскости основания.

Прямой параллелепипед с прямоугольником в основании является прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда каждая из граней является прямоугольником.

Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые грани расположены, по отношению к основаниям, под углом, не равным 90 градусов.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения имеют равную величину, является кубом. Каждая из граней куба – это равные квадраты.

Произвольный параллелепипед. Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде в основном определяются при помощи векторной алгебры. Объём параллелепипеда равняется абсолютной величине смешанного произведения 3-х векторов, которые определяются 3-мя сторонами параллелепипеда (которые исходят из одной вершины). Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними показывает утверждение, что определитель Грама данных 3-х векторов равняется квадрату их смешанного произведения.

Свойства параллелепипеда.

В параллелепипед вписывают тетраэдр. Объем этого тетраэдра будет равняться третьей части объема параллелепипеда.

Источник

Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?

Определение параллелепипеда

Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A₁B₁C₁D₁. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA₁, ВB₁, CC₁, DD₁ параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

Правильный параллелепипед на то и правильный, что два его измерения равны. Две грани такого правильного параллелепипеда — квадраты.

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

Свойства прямого параллелепипеда:

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

У нас есть отличные дополнительные онлайн занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся!

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Свойства куба:

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Нужно найти длину ребра A₁B₁.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°. Против равных сторон лежат равные углы.

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AB = 4
AD = 6
AA₁= 5
Нужно найти отрезок BD₁.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD₁ угол D = 90°.
BD₁ 2 = 52 + 25 = 77.

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Вычислите длину ребра AA₁.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

Источник