что такое палиндром в математике
Палиндромами так же являются квадраты таких чисел, как 11, 111, 1111 и т д. А именно:
11112 = 1 234 321 и т. д.
Интересно! что
1 + 2 + 1 = 4 = 2(во 2степени)
1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 = 3(во 2степени)
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = 4(во 2степени)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25 = 5(во 2степени)
Каждое из подобных чисел, можно изложить в виде неправильных дробей:
121=22х22/1+2+1
12321 =333х333/1+2+3+2+1
1234321=4444х4444/1+2+3+4+3+2+1
и так далее.
Наконец, для деления получаем:
82:41=28:14
62:31=26:13
— произведение первой цифры числа N1 на вторую цифру числа N2 равно произведению двух других их цифр: х1.у 2 = х2.у 1 (вы заметили связь между примерами на деление и умножение?).
https://www.nkj.ru/archive/articles/10656/
Особенно наглядно свойственное палиндрому «вечное движение» (вращение) проявляется в циклических палиндромах, или круговертнях, то есть в текстах, одинаково читаемых в обе стороны, но уже при записи вдоль окружности:
Еще одной разновидностью палиндрома является монопалиндром (термин А. Бубнова), т. е. единый палиндромный текст, записанный в несколько строк:
1. ортогонал: друг // враг (С. Ф.)
(Иллюстрация 2)
2. опрокидень: Звезда // звезда (Д. Авалиани)
(Иллюстрация 3)
3. опрокидень: Ты Бог // гад ты (С. Ф.)
(Иллюстрация 4)
В свою очередь наиболее перспективным из этих двух подвидов поворотня представляется опрокидень. Во всяком случае, примеров опрокидней известно на порядок больше, нежели ортогоналов. Поэтому заострим свое внимание именно на них.
Уже из приведенных выше примеров становятся видны принципиальные отличия опрокидня от палиндрома.
Во-первых, палиндромные строчки объективны и практически не зависят от индивидуальности автора. Поэтому-то так часты пересечения у любителей палиндромов. Опрокидни же сугубо индивидуальны, интимны, целиком зависят от почерка и фантазии автора:
1. Совсем я плох // хочу в народ.
(Иллюстрация 5)
2. Нимфа // вернись
(Иллюстрация 6)
3. Вернись // никогда (Д. Авалиани).
https://www.nkj.ru/archive/articles/10480/
Простейшие слова-палиндромы: мим, дед, наган, заказ, кабак, казак, мадам, шалаш. Самое длинное слово-палиндром, существительное, содержит 7 букв — ротатор. А если не требовать именительного падежа и единственного числа, то рекордсменом будет слово манекенам.
Будущие, ищу дуб,
Но сила ли сон?
* * *
Иль обида ради боли?
Доктор геолого-минералогических наук, кандидат физико-математических наук Б. ГОРОБЕЦ отмечает, что в русских палиндромах неизменно нечетное количество букв
https://www.nkj.ru/archive/articles/538/
Первый неожиданный результат был получен при частотном анализе распределения слов по числу букв. Почти все слова-палиндромы русского языка насчитывают нечетное число букв, от 1 до 11 (синие линии на гистограмме). Ничего подобного нет среди обычных, то есть несимметричных, слов (красные линии на гистограмме, демонстрирующие частотность слов, взятой из Частотного словаря русского языка, 1977, с.930). Гистограммы различаются настолько разительно, что нет смысла приводить математические выкладки по проверке статистической гипотезы о значимости указанного различия. Хотя сделать это несложно, и можно показать, что риск ошибки в сделанном выводе не превышает 0,01%.
Итак, «закон нечетности» распространяется исключительно на буквенно-симметричные словоформы, то есть на палиндромы! Однако, разумеется, это утверждение требует более строгой математико-лингвистической проверки путем подсчета слов со сдвоенным центром, имеющих как четное, так и нечетное число букв.
Замечательно, что действие «закона нечетности» распространяется не только на слова, но и на палиндромные фразы и более сложные тексты. Случайная выборка из 114 фраз у 33 авторов показала, что их доля с четным числом букв составляет 12,3%. У классика жанра Д. Авалиани она равна 13,5% в выборке из 200 фраз. Отсюда средняя доля центро-симметричных фраз, то есть фраз с центральной буквой, близка к 88% (тоже, кстати, цифровой палиндром!).
Естественен вопрос: а для чего все это нужно? Законы словообразования (если они действительно законы, выраженные количественно) действуют специфично и объективно на данное множество элементов, помогают формировать ту научную базу данных, которая необходима для создания и совершенствования новых информационных технологий, в частности кодирования и декодирования сообщений, переводов, распознавания образов (слов, слогов) в сигнале на фоне шума. И здесь нужны сведения о частотности слов в речи и литературе различных стилей. Эту работу еще предстоит выполнить.
Амфирифма
Сологолос
(В. Рыбинский)
Анархоохрана
Микрозорким
Маревоверам
Суперэпус
Синепенис
Трах-арт
Тревыверт
(В. Гершуни)
Лохохохол
(Джети
Автоботва
Аквалавка
Пракарп
Ретропортер
(Б. Гринберг)
Оленинело
(Ю. Телесин)
Девовед
Монгологном
Мордодром
(В. Хромов)
Икотопотоки
(Л. Адрианов)
Артсестра
Иноони
(Г. Лукомников)
Коненок
(К. Соприцкий)
Киторотик
(П. Нагорских)
Речевечер
(С. Красовицкий)
МакроЛоркам
МикроГорьким
Сотанатос
Солововолос
(С. Федин)
Тревоговерт
(Д. Минский)
Китокотик
Лифонофил (лифон жарг.- лифчик)
Недороден
Ротомотор
(Б. Горобец)
Конещенок
Недеееден
(Б. Гольдштейн)
Презентация по математике «Палиндром» (6 класс)
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Что такое палиндром? Работа выполнена учителем математики Приходько Галиной Владимировной
Задача ЕГЭ а) Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15. б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15? в) Найдите 37-е по величине число-палиндром, которое делится на 15. Ответы: а) 5115; б) 33; в) 59295
Что значит палиндром? Слово палиндром произошло от греческого слова palindromos (palindromos), обозначающего “вновь бегущий назад”. Палиндромами могут быть не только числа, но также и слова, предложения и даже тексты.
Суперпалиндром Некоторые палиндромические фразы и словосочетания известны нам ещё с глубокой древности. Тогда им часто придавали магический смысл. К магическим палиндромам так же относятся магические квадраты например, SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (переводится как «Сеятель Арепо с трудом держит колёса»).
В настоящее время палиндром лишен всех магических сил и представляет собой обычную словесную игру, позволяющую немного пошевелить мозгами. Большинство палиндромов представляют собой относительно связный набор слов, но есть и любопытные цельные и понятные фразы, к примеру, «Но невидим Архангел лег на храм и дивен он». Если говорить о словах-палиндромах, самым длинным в мире принято считать слово «SAIPPUAKIVIKAUPPIAS», которое в переводе с финского языка означает «продавец мыла».
Задача: выяснить, как часто встречаются симметрические числа среди простых чисел. Для чисел меньших 1000 это легко выяснить по таблице простых чисел. Среди простых двузначных чисел существует единственное симметрическое число — 11. Далее нашлись: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 797, 919, 929.
Доказательство Среди четырехзначных чисел простых симметрических чисел нет. Докажем это. Четырехзначное симметрическое число имеет вид авва. По признаку делимости на 11 разность суммы чисел, стоящих на нечетных местах, и суммы чисел, стоящих на нечетных местах: (а+в)-(в+а)=0. Это означает, что все четырехзначные симметрические числа делятся на 11, т. е. составные. Аналогично можно доказать, что простых чисел не будет среди всех 2n – значных симметрических чисел.
До 100 имеется 25 простых чисел, среди них – одно симметрическое, что составляет 4 %. До 1000 простых чисел становится 168. Симметрических – 16. Это примерно 9,5%. До 10000 число симметрических чисел не меняется. До 1000000 — 78498 простых чисел. Симметрических чисел стало 109. Это примерно 0,13%. Ясно, что процент симметрических чисел уменьшается, но сказать, что среди очень больших чисел простых симметрических совсем не будет невозможно.
Есть идея Числовые палиндромы могут являться результатом операций над другими знаками. Мартин Гарднер, автор книги «Есть идея!», являясь достаточно известным популяризатором науки, выдвигает определенную гипотезу. Если взять натуральное число (любое) и прибавить к нему обращенное (состоящее из тех же цифр, но в обратном порядке), затем повторить действие, но уже с полученной суммой, то на одном из шагов получится палиндром. В некоторых случаях достаточно осуществить сложение единожды: 213 + 312 = 525. Но обычно необходимо не меньше двух операций. Так, например, если взять число 96, то, совершив последовательное сложение, палиндром можно получить только на четвертом уровне: 96 + 69 = 165 165 + 651 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 Суть гипотезы состоит в том, что если брать любое число, после определенного количества действий будет обязательно получен палиндром. Примеры можно найти не только в сложении, но и в возведении в степени, извлечении корней и прочих операциях.
Пример2 Возьмём число 95 1 шаг. 1 шаг « Перевернём» 59 Сложим 154 2 шаг. «Перевернём» 451 2 шаг Сложим 605 3 шаг «Перевернём» 506 3 шаг Сложим 1111 Число 1111 – палиндром.
Палиндромы в литературе НАЖАЛ КАБАН НА БАКЛАЖАН, ТЫ, САША, СЫТ, НА В ЛОБ, БОЛВАН АРГЕНТИНА МАНИТ НЕГРА НО ТЫ ТОНКА, КАК НОТЫ ТОН, АДА ПСАРИ И РАСПАДА
Слова- палиндромы ШАЛАШ, НАГАН, КАЗАК, КОК, ТОПОТ, РОТОР, КАБАК, ПУП, ДЕД, РАДАР
Фразы-палиндромы ОСЕЛО КОЛЕСО, Я НЕ СТАР БРАТ СЕНЯ Я ЕМ ЗМЕЯ А СОБАКА БОСА АРГЕНТИНА МАНИТ НЕГРА ИСКАТЬ ТАКСИ ЦЕНИТ НЕГРА АРГЕНТИНЕЦ ЛЁША НА ПОЛКЕ КЛОПА НАШЁЛ
Палиндромы- стихи Уж редко рукою окурок держу… Уж истово вот сижу, Яро в тиши творя, Заржу уж раз Удач в чаду, Уж раз заржу – Да рад! Можно прочитать как с начала, так и с конца.
В музыке Палиндромные музыкальные произведения играются «как обычно», в соответствии с правилами. После завершения пьесы ноты переворачиваются. Затем произведение играют снова, но мелодия при этом не будет меняться. Итераций может присутствовать сколько угодно, неизвестно при этом, что является низом, а что – верхом. Данные музыкальные произведения можно сыграть вдвоем, при этом читая ноты с обеих сторон одновременно. В качестве примеров таких палиндромических произведений можно привести «Путь мира», написанный Мошелесом, и «Застольную мелодию для двоих», сочиненную Моцартом.
В биологии Структура нуклеиновых кислот предусматривает наличие относительно коротких взаимно комплементарных участков. Они имеют так называемые «зеркальные последовательности» из нуклеотидов, способные формировать дуплексы. В человеческом геноме общее количество таких «перевертышей» оценивается в пределах от ста тысяч до миллиона. При этом, согласно наблюдениям, распределение их по структуре ДНК неравномерно. Палиндромы в биологическом смысле обладают способностью обеспечивать увеличение объема информации без повышения количества нуклеотидов. Особое значение «симметричные формы» имеют при образовании некоторых видов нуклеиновых кислот – транспортных РНК.
Научно-практическая работа по математике на тему «Палиндромы в математике» (5-7 классы)
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №9»
«Палиндромы в математике»
Выполнили: ученица 7А класса
Руководитель: учитель математики
Михайлова Тамара Александровна
г. Новочебоксарск, 2018
Алгоритм получения палиндрома ………………………………………………..4
Список использованных источников информации …………………………………. 12
Актуальность выбора темы
Числа палиндромы образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел. Они обладают необычной историей, удивительными свойствами.
Мы провели исследование среди учащихся 6А, 6В и 7А классов и выяснили, что многие ребята слышали об этих числах, но подробную информацию знают единицы. Многие из опрошенных учащихся хотели бы узнать об этих числах больше. ( Приложение )
Простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа.
Исследуя множество простых чисел, можно получить удивительные числовые множества с их необыкновенными свойствами.
Вы, наверное, все помните книгу о приключениях Буратино. Помните, как строгая Мальвина учила Буратино писать? Она велела написать такую фразу: «А роза упала на лапу Азора» и велела прочитать “наоборот”. Эта фраза читается слева направо и справа налево. Это фраза-палиндром (в переводе — перевертыш). Слова: ШАЛАШ, РАДАР, ТОПОТ, КОК, КАЗАК — тоже палиндромы.
Числовые палиндромы – это натуральные числа, которые одинаково читаются справа налево и слева направо. Иначе говоря, отличаются симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным.
Например: 121; 676; 1331; 4884; 94949; 1177711; 1178711 и т. д.
Изучая палиндромы, я задалась вопросом: «Как из других чисел можно получить палиндромы?»
Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Для этого воспользуемся известным алгоритмом.
Алгоритм получения палиндрома
Возьми любое двузначное число
Переверни его (переставь цифры справа налево)
Переверни полученное число
Повторяй аналогичные действия до тех пор, пока не получится палиндром
В результате проделанной работы я пришла к выводу, что, используя составленный алгоритм, из любого двузначного числа можно получить число-палиндром.
Теперь обратимся к числам простым. В их бесконечном множестве имеются целые семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходится на первую тысячу, из них четыре числа однозначные – 2; 3; 5; 7 и всего одно двузначное – 11. С такими числами связано немало интересных закономерностей:
Существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр – 11.
Первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1; 3; 7 или 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5. Все простые двузначные числа, записанные с помощью перечисленных цифр (кроме 19), можно разбить на пары.
Например: 13 и 31; 17 и 71; 37 и 73; 79 и 97.
Среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1.
Например: 181 и 191; 373 и 383; 787 и 797; 919 и 929.
Аналогичная картина наблюдается у больших простых чисел.
Например: 94849 и 94949; 1177711 и 1178711.
Все однозначные числа являются палиндромами.
26 – наименьшее число, не являющееся палиндромом, квадрат которого палиндром
(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,
(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.
Палиндромные формулы вызвали у меня больший интерес. Под формулами – палиндромами понимают выражение, состоящее из суммы или разности, произведения или частного чисел, результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.
Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево.
Запишем это равенство с помощью букв:
Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:
25 + 63 = 36 + 52 и т.д.
Задача 2. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево.
Запишем это равенство с помощью букв:
Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:
52 –16 = 61 – 25 и т.д.
Задача 3. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их умножения не менялся в результате прочтения произведения справа налево.
Запишем это равенство с помощью букв:
Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:
Вывод: Для решения этой задачи произведение первых цифр чисел равно произведению их вторых цифр, т.е. х 1 ∙х 2 = у 1 ∙у 2
46 ∙ 32 = 23 ∙ 64 и т.д.
Задача 4. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их деления не менялся в результате прочтения чисел справа налево.
Для решения этой задачи произведение первой цифры первого числа на вторую цифру второго числа равно произведению двух других их цифр, т.е. x 1 ∙ y 2 = x 2 ∙ y 1
Задача 1. Приведите примеры того, как при помощи одних палиндромов получаются другие:
б) 2·121·10201 = 2·11² ·101² = 22·112211 = 1111· 2222 = 2468642.
Задача 2. Докажите, что если из трёхзначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, разность всегда будет делиться на 9.
Решение. 
Ответ: Данное произведение делится на 9.
Задача 3. ( Б.А. Кордемский «Математическая смекалка»)
Найти 10-тизначное число с неповторяющимися цифрами, при делении которого на 9 получается в частном палиндромическое число, т.е. читающееся одинаково как слева направо, так и справа налево.
Вот первые результаты моей работы:
8 706 543 921 : 9 = 967 393 769
1 206 453 879 : 9 = 134 050 431
4 059 721 386 : 9 = 451 080 154
Таких 10-тизначных чисел с неповторяющимися цифрами более трёх миллионов:
Утречко летело к черту
Я нем и нежен, не жени меня
Нам рак влетел в карман
Цени в себе свинец
Древнейший из сохранившихся палиндромов написан на латыни и датируется 4 в. н.э.
Это фраза » Sator Arepo tenet opera rotas «, что означает «Сеятель Арепо с трудом держит колёса».
НООССООН – формула щавелевой кислоты
В изобразительном искусстве
Мир чисел настолько загадочен и увлекателен, что занимаясь данной работой, я поняла: если бы каждый из нас уделял ему больше внимания, то нашел бы для себя много нового и интересного.
Значит, я подтвердила гипотезу о том, что простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа.
В своей работе я рассмотрела формулы – палиндромы для суммы и разности, произведения и частного двузначных чисел и смогла их доказать, и показать их применение на практике.
Знаете ли вы что-нибудь
о числах палиндромах?
Хотите узнать больше
Результаты опроса показали, что в большинстве учащиеся хотят знать больше о числах палиндромах.
Список использованных источников информации
Депман И.Я. За страницами учебника математики //пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1989.
Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел // книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1995.
Перельман Я.И. Занимательная математика // издательство «Тезис». – 1994
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-1651638
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Минобрнауки: вузы вправе вводить QR-коды для посещения корпусов
Время чтения: 2 минуты
Студентам вузов могут разрешить проходить практику у ИП
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
СК предложил обучать педагогов выявлять деструктивное поведение учащихся
Время чтения: 1 минута
Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах
Время чтения: 1 минута
Мишустин поручил проводить международную олимпиаду по философии
Время чтения: 0 минут
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Исследовательская работа ученицы 10 класса Калошиной Юлии на тему :»Палиндромы в математике»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Название работы: Палиндромы в математике
Автор работы: Калошина Юлия Сергеевна
Место выполнения работы: РК, Яшалтинский р-н, с. Яшалта,
МБОУ «Яшалтинская СОШ имени В. А. Панченко»
Глава 1. Понятие палиндрома в математике _______________________ 5
Глава 2. Формулы палиндромы ________________________________ 11
Глава 3. Именные палиндромы _________________________________ 13
Глава 4. Числовой конструктор _________________________________ 14
Глава 5. Палиндромы в других науках ____________________________ 15
Глава 6. Решение олимпиадных задач и задач ЕГЭ____________ ____ 17
Заключение __________________________________________________ 25
Список литературы ____________________________________________ 26
Обоснование выбора темы: Математика – один из моих любимых предметов, решение различных математических задач привлекало меня, начиная с начальных классов. Именно на уроках математики, при выполнении задач из сборника для подготовки к ЕГЭ, я встретила слово «палиндром». Мне стало интересно, что же это такое? Оказалось, это слово используется в разных науках и имеет множество значений. Я обратила внимание на то, что палиндромы есть как в русском языке, так и в математике. Удивилась: такие разные предметы, а слово одно используют. Но слово-то одно, а вот значения у него разные. Для начала нужно было узнать происхождение слова. Вот что я нашла в толковом словаре:
— Палиндром (греч. «бегущий обратно»), перевертень, «рачья песня» — последовательность звуков или букв, которые и в прямом, и в обратном порядке читаются одинаково: «оно», «я иду, судия». Палиндромом также называется и стих, который при прочтении слева направо или справа налево, дает те же слова. Другое, более точное и распространённое название таких фраз — зеркальные анаграммы. В математике и прочих науках встречаются числа, формулы — палиндромы.
Цели и задачи исследования:
1. Изучить литературу по теме исследования, анализ полученной информации;
2. Изучить свойства чисел- палиндромов;
3. Изучить формулы получения палиндромов при выполнении арифметических операций;
4. Рассмотреть палиндромы в других науках.
5. Создать сборник для подготовки к математическим олимпиадам и ЕГЭ.
Новизна исследования: написание программы на языке программирования Pascal для решения некоторых олимпиадных задач по теме «Палиндромы».
Практическая значимость : созданный мной сборник может использоваться учителями и учениками при подготовке к ЕГЭ; также окажется как нельзя, кстати, при решении задач выходящих за рамки школьной программы, олимпиадных заданий. А работа в целом будет способствовать повышению интереса к изучению математики у учеников и родителей.
Методы исследования: анкетирование; анализ литературы; синтез; сравнение; аналогия.
Гипотеза: После проведения опроса среди одноклассников, я задумалась об актуальности этой темы, ведь задачи по теме «Палиндромы», которых много в ЕГЭ и на олимпиадах, предполагают наличие определенных знаний у учеников; поэтому мне бы хотелось самой узнать как можно больше по этой теме и поделиться этими с другими. Я уверена, что если школьникам изучающим математику углубленно интересен и доступен материал по теме «Палиндромы», то и для нас это должно быть точно так же. Я предполагаю, что элементы высшей математики могут быть доступны и интересны ученикам средней школы. А также, исследуя множество натуральных чисел, можно получить удивительные числовые множества с их необыкновенными свойствами.
Объект исследования : множество натуральных чисел
Предмет исследования: числа-палиндромы
Глава 1. Понятие палиндрома в математике
В математике существуют такие числа, которые образуют интересную подгруппу натуральных чисел. Их называют палиндромами. Они обладают необычной историей и имеют свои особенности, интересные свойства.
Говоря о том, что такое палиндром, следует сказать, что известны «перевертыши» с самой глубокой древности. Зачастую им придавался магический сакральный смысл. Появились палиндромы, примеры которых можно встретить в самых разных языках, предположительно в средние века. Древнейший известный палиндром — фраза на латыни, датирующаяся 4 веком н. э.: «SatorArepotenetoperarotas», переводящаяся как «Сеятель Арепо с трудом держит колёса». Фраза обычно записывается в квадрате 5×5, где обнаруживается ещё одно свойство симметрии — её можно читать как по горизонтали, так и по вертикали.
Числовые палиндромы – это натуральные числа, которые одинаково читаются справа налево и слева направо. Математики связывают с ними множество любопытных фактов и закономерностей: так, палиндромы делятся на пары и семейства, образуют числовые квадраты и целые симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.
В математике палиндромом называется строка a1a2…an, для которой выполняются равенства a1=an, a2=an-1, …, a[n-2]=an+1-[n-2], где a1, a2, …, an — некоторые символы. В частности, палиндромами являются все строки из одного символа, а также пустая строка (строка из 0 символов). При этом не обязательно, чтобы строка была осмысленным словом или выражением. С другой стороны, расстановка пробелов в математическом палиндроме тоже должна быть симметричной. Также палиндромам в математике посвящены некоторые теоремы. Вот одна из них:
Теорема : Самой длинной палиндромной подстрокой строки s1s2…sn является самая длинная общая подстрока строк s1s2…sn и sn…s2s1. Если таких общих подстрок несколько, то все они являются палиндромами. (Подстрокой строки S называется строка, полученная из S вычёркиванием некоторых символов без перестановки оставшихся.)
Например, палиндромом является квадрат числа состоящего из единиц 1^2=1 11^2=121 111^2=12321 1111^2=1234321 11111^2=123454321 1*n+1=палиндром
Назовем исходное число и число с переставленными в обратном порядке цифрами взаимно обратными. Выяснено, что сложение некоторых взаимно обратных чисел приводит к образованию числа-палиндрома. Но для многих взаимно обратных чисел такое число палиндром при сложении не образуется. А что будет, если в этом случае сложить результат сложения с его взаимно обратным числом?
Можно рассматривать не только сложение, но и другие операции, включая возведение в степень и извлечение корней. Вот несколько примеров того, как при их помощи из одних палиндромов получаются другие:
Обратимся к числам простым. В их бесконечном множестве имеются целые семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходится на первую тысячу, из них четыре числа однозначные – 2; 3; 5; 7 и всего одно двузначное – 11.
С такими числами связано немало интересных закономерностей:
Существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр – 11.
1.Первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1; 3; 7 или 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5. Все простые двузначные числа, записанные с помощью перечисленных цифр (кроме 19), можно разбить на пары.
Например: 13 и 31; 17 и 71; 37 и 73; 79 и 97.
2. Среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1.
Например: 181 и 191; 373 и 383; 787 и 797; 919 и 929.
Аналогичная картина наблюдается у больших простых чисел.
Например: 94849 и 94949; 1177711 и 1178711.
3. Все однозначные числа являются палиндромами.
4. 26 – наименьшее число, не являющееся палиндромом, квадрат которого палиндром. Например: 26² = 676
Вообще среди простых чисел-палиндромов встречаются удивительные экземпляры. Вот лишь один пример — числовой гигант
5903 раза 5903 раза
А интересен он тем, что содержит 11 811 цифр, которые можно разбить на три палидромические группы, причём в каждой группе количество цифр выражается простым числом (5903 или 5).
Любопытные палиндромические закономерности просматриваются и в группах простых чисел, в записи которых присутствуют определённые цифры. Скажем, только цифры 1 и 3, причём в каждом числе. Так, двузначные простые числа составляют упорядоченные пары 13 — 31 и 31 — 13, из шести трёхзначных простые сразу пять чисел, среди которых есть два палиндрома: 131 и 313, а ещё два числа образуют пары «перевёртышей» 311 — 113 и 113 — 311. Во всех этих случаях составленные пары наглядно представляются в виде числовых квадратов (рис. 1).
Своими свойствами они напоминают магический и латинский квадраты. Например, у среднего квадрата сумма чисел, стоящих в каждой строке и в каждом столбце, равна 444, на диагоналях — 262 и 626. Сложив числа из всех клеток, получим 888. И что характерно, каждая сумма — палиндром. Даже просто выписывая без пробела несколько чисел из одной таблицы, получим новые палиндромы: 3113, 131313131 и т. д. Если в каждую из пар 311 — 113 и 113 — 311 добавить 131 или 313, образуются четыре палиндромические тройки. Запишем одну из них в столбик:
Как видим, и сами числа, и нужная их комбинация дают о себе знать при прочтении в разных направлениях. Кроме того, расположение цифр симметрично, а их сумма в каждой строке, каждом столбце и на одной из диагоналей выражается простым числом − 5.
Надо сказать, рассмотренные числа интересны и сами по себе. Например, палиндром 131 — простое циклическое число: при любых последовательных перестановках первой цифры на последнее место он порождает простые числа 311 и 113. Можете ли вы указать другие простые палиндромы, обладающие таким же свойством?
А вот пары чисел-«перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 — 961 и 12769 — 96721. Любопытно, что даже суммы их цифр оказались связаны хитрым образом:
(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9. Добавим, что среди натуральных чисел имеются и другие пары «перевёртышей» с подобным свойством: 103 — 301, 1102 — 2011, 11113 — 31111 и др.
Глава 2.Формулы – палиндромы.
Под формулами – палиндромами, понимают, выражение (состоящее из суммы или разности чисел), результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.
Если сложить числа – палиндромы, то сумма не меняется.
В общем виде это можно записать так:
(100х + 10х+ x ) + (100у + 10 y + у) = (100у + 10 y + у) + (100х + 10 x + х)
100х + 10х+ x + 100у + 10у + y = 100у + 10у + y + 100 x +10х + х
111х + 111у = 111у + 111х
От перестановки слагаемых сумма не изменяется (переместительное свойство сложения).
Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево, то есть
Например, 42 + 35 = 53 + 24.
Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:
Примеры: 41-32 = 23-14, 62-17 = 71-26
Примеры: 39*31=13*93, 42*12=21*24
х1у1/х2у2 =у2х2/у1х1, тогда имеем
х1*у2=х2*у1, т.е.произведение первой цифры первого числа на вторую цифру второго числа равно произведению двух других их цифр.
Глава 3. Именные палиндромы.
Палиндромы встречаются в некоторых множествах чисел, удостоенных собственных названий: число Фибоначчи, число Смита, Репдиджит, Репьюнит.
Числами Фибоначчи называют элементы числовой последовательности. В ней каждое следующее число в ряду получается суммированием двух предыдущих чисел.
Число Смита — составное число, сумма цифр которого равна сумме цифр его простых делителей.
Репдиджит — натуральное число, в записи которого все цифры одинаковые.
Например, 4444, 5555555 и т.д.
Треугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строк
Например, числа (121,15101051 и т.д.)
Глава 4. Числовой конструктор.
Из простых чисел-палиндромов, располагая их определённым образом, скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.
Вот, например, красивая комбинация из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3 (кроме первого, рис. 2). Особенность этого числового треугольника в том, что один и тот же фрагмент повторяется трижды, не нарушая симметрию рисунка.
Рис. 2
Легко видеть, что общее количество строк и столбцов — число простое (17). К тому же простые числа и суммы цифр: выделенных красным фрагментов (17); каждой строки, за исключением первой (5, 11, 17, 19, 23); третьего, пятого, седьмого и девятого столбцов (7, 11) и «лесенки» из единиц, образующей боковые стороны треугольника (11). Наконец, если двигаться параллельно указанным «сторонам» и складывать по отдельности цифры третьего и пятого рядов (рис. 3), получим ещё два простых числа (17, 5).
рис.3
Глава 5. Палиндромы в других науках.
Рассмотрим палиндромы в других науках:
1. В изобразительном искусстве:
Палиндромы в биологическом смысле обладают способностью обеспечивать увеличение объема информации без повышения количества нуклеотидов. Особое значение «симметричные формы» имеют при образовании некоторых видов нуклеиновых кислот – транспортных РНК.
— Лилипут сома на мосту пилил.
— Нажал кабан на баклажан.
На это дама скромно может ответить «перевертышем»: «Eve» (Ева).
Бывают симметричными не только предложения или наборы букв:
Race fast, safe car (Гони быстро, безопасная машина)
Never odd or even (Никогда нечётные или чётные)
Палиндромные музыкальные произведения играются «как обычно», в соответствии с правилами. После завершения пьесы ноты переворачиваются. Затем произведение играют снова, но мелодия при этом не будет меняться. Итераций может присутствовать сколько угодно, неизвестно при этом, что является низом, а что – верхом. Данные музыкальные произведения можно сыграть вдвоем, при этом читая ноты с обеих сторон одновременно. В качестве примеров таких палиндромических произведений можно привести «Путь мира», написанный Мошелесом, и «Застольную мелодию для двоих», сочиненную Моцартом.
Глава 6. Решение олимпиадных задач и задач ЕГЭ.
А) Приведите пример числа – палиндрома, которое делится на 55. Б) Сколько существует пятизначных чисел – палиндромов, делящихся на 55? в) Найдите 13-е по величине число – палиндром, которое делится на 55.
Б)Теперь займемся пятизначными числами. Ищем число вида 5хух5, которое делится на 55. Попробуем воспользоваться признаками делимости. Число 55=5*11. Поэтому искомые числа должны делиться на 11. «Число делится на11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах равняется сумме цифр, стоящих на четных местах или отличается от нее на11».
Имеем: 5+у+5=х+х или 5+у+5=х+х+11. Получим:
10+у=2х – решением этого уравнения являются пары чисел: (5;0), (6, 2), (7, 4), (8, 6), (9, 8).
10+у=2х+11 – решением этого уравнения являются пары чисел (0,1), (1,3), (2,5), (3,7), (4,9).
Получим 10 чисел – палиндромов:
Таким образом, среди пятизначных чисел ровно 10 палиндромов.
В)назовите 13 –е по счету число-палиндром, которое делится на 55.
Если ряд палиндромов начать с числа 55, то тринадцатым будет 51315.
55, 5005, 5115,5225,5335,5445,5555,5665,5775,5885,5995. 50105. 51315, 52525,53735,54945,55055,56265,57475,58685,59895
а) Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15. б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15? в) Найдите 37-е по величине число-палиндром, которое делится на 15.
1)При Z =0 получается 5 y 0 y 5
2)При Z =1 получается 5+ y +1+ y +5=11+2 y
При y =1 51015 При y =2 52125
При y =454045 При y =5 55155
При y =7 57075 При y =858185
3) При Z =2 получается 12+2 y /3 4) При Z =3 получается 13+2 y /3
При y =0 50205 При y =1 51315
При y =353235 При y =4 54345
При y =656265 При y =7 57375
Таким образом, заметим повторение.
Для набора y =(1,4,7)= z =0,3,6,9 (12 чисел)
Для набора y =(2,5,8) )= z =1,4,7 (9 чисел)
Для набора y =(0,3,6,9)= z =2,5,8( 12 чисел)
В)Найдем 37-е по счету число палиндром
1)При двузначных нет палиндромов/15
2)Среди 3-значных 5 y 5 y =2,5,8 525,555,585
4)Среди 5-значных выписываем все числа
5)Упорядочиваем все числа и находим 37 –е число по счету
Ответы: а) 5115; б) 33; в) 59295
Решение : аналогично предыдущей задаче.
Ответ :а)585; б)11 ;в)56565
Задача 4. Автомобилист посмотрел на счетчик своего автомобиля и увидел симметричное число (палиндром) 15951 км (читается одинаково слева направо или наоборот). Он подумал, что, скорее всего, уже не скоро появится другое симметричное число. Однако уже через 2 часа он обнаружил новое симметричное число. С какой постоянной скоростью автомобилист проехал эти два часа?
Сколько существует 5-значных палиндромов, делящихся на 9.
Задача 6: . Представьте число 2015 в виде суммы двух палиндромов.
Решение: 2015=1551+464. Догадаться нетрудно. Самый большой трехзначный палиндром это 999. Но 999+999=1998
Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать точки, то получится палиндром (т.е. число, читающееся слева направо и справа налево одинаково). Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату, обладающую тем же свойством. Решение: Рассмотрим два случая:
1) требуемая дата еще не наступила,
2) требуемая дата уже прошла.
Итак, 1) в 2001 году других палиндромов быть не может, а в следующем (2002) году это должен быть 20 день второго месяца.
Ответ. 1) 20 февраля 2002 2) 29 ноября 1192 года.
а) двузначных ; б) трехзначных ; в) четырехзначных ; г) пятизначных
На 2 делится любое четное число. Поэтому,
Задача 9:
б) трехзначных ; в) четырехзначных ; г) пятизначных
Решение: На 3 число делится, если сумма его цифр делится на 3.
а) среди двухзначных таких чисел 3: 33, 66 и 99.