что такое определение дайте определение окружности что

Окружность и круг

теория по математике 📈 планиметрия

Определения

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки (центра окружности). Другими словами – это замкнутая линия, длину которой можно измерить.

На рисунке центр окружности обозначен точкой О. Определения

Радиус – расстояние от центра до любой точки окружности. На рисунке радиус обозначен АО. Все радиусы одной окружности равны. Радиус можно обозначать латинскими буквами R или r.

Диаметр – отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. На рисунке диаметр обозначен АВ. Все диаметры одной окружности равны. В одном диаметре содержится два радиуса. Диаметр обозначается буквой d.

Хорда – отрезок, соединяющий две любые точки окружности. На рисунке это отрезок CD.

Свойство хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Так, на рисунке показаны две пересекающиеся хорды, одна состоит из отрезков a и b, вторая из отрезков d и с, следовательно, ab=dс.

Длина окружности

Длину окружности можно вычислить по формуле:

C=2πR, где π=3,14.

Дуга – часть окружности, которая соединяет две точки. На рисунке мы видим несколько дуг, например, дуги CD (малая и большая). Дуга АВ – называется полуокружностью, так как стягивает концы диаметра. Обозначается дуга значком ∪АВ.

Дуга, касательная, круг, сектор, сегмент

Из точки, не лежащей на окружности можно провести касательную – прямую, которая имеет с окружностью только одну общую точку (рисунок 4).

Свойства касательной

На рисунке видно, что АХ=ВХ, угол АХО равен углу ВХО.

Угол АВС (образован касательной АВ и хордой ВС) равен половине дуги m.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Другими словами, круг – это всё, что находится внутри окружности.

Площадь круга вычисляется по формуле:

Сектор и его площадь

Сектор – область круга, ограниченная двумя радиусами. На рисунке сектор выделен сиреневым цветом, он ограничен радиусами ОА и ОВ.

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

Сегмент – это область круга, ограниченная хордой и дугой. На рисунке сегмент выделен сиреневым цветом. Также можно сказать, что это часть круга, отсекаемая от него хордой. На рисунке видно, как хорда АВ отсекает сегмент.

Источник

Что такое окружность

Как и треугольники, окружность является одной из основных геометрических фигур. Что же такое окружность?

точка О — центр окружности

Окружность — это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, расположенных на одинаковом расстоянии от данной точки.

Эта точка называется центром окружности.

OA — радиус окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой, называется радиусом окружности.

Радиус обычно обозначают R или r.

Расстояние от центра окружности до любой ее точки равно длине радиуса: OA=R.

MK, FK — хорды окружности

Отрезок, соединяющий любые две точки окружности, называется хордой окружности.

BC — диаметр окружности

Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.

Центр окружности является серединой любого диаметра.

Диаметр окружности обычно обозначают d: BC=d.

Диаметр является наибольшей из всех хорд окружности.

Диаметр окружности в два раза больше длины ее радиуса: d=2R.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из таких частей называется дуга окружности.

Если назвать дугу окружности двумя буквами — CD — непонятно, о какой из частей идет речь.

Добавив к названию дуги третью букву, определяем дугу однозначным образом:

Источник

Основные термины определение окружности

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью

Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

L = R .

S = R 2 .

Вписанные и описанные окружности

Окружность и треугольник

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Номер материала: ДБ-1220744

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Туве предложили ввести антиковидные паспорта для школьников

Время чтения: 2 минуты

В Иркутской области продлили школьные каникулы

Время чтения: 1 минута

СК предложил обучать педагогов выявлять деструктивное поведение учащихся

Время чтения: 1 минута

Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для школ

Время чтения: 1 минута

На Госуслугах ввели запись детей на кружки и секции

Время чтения: 2 минуты

Систему ЕГЭ сделают независимой от Microsoft

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Дайте определение окружности. Объясните, что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности.

Докажите свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

Билет №7

Дайте определение прямоугольного треугольника и сформулируйте его свойства.

Ответ: Прямоугольный треугольник — треугольник один из углов которого прямой.

Объясните решение задачи на построение: Построить биссектрису данного угла.

Ответ: 1. Провести окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла.

Построить две окружности этого же радиуса с центром в точках пересечения первой окружности и сторонами угла.

Построить такой луч из вершины угла, чтобы он проходил через точку пересечения окружностей из второго шага.

Билет №8

Дайте определение параллельных прямых и сформулируйте признаки параллельных двух прямых.

Ответ: Параллельные прямые — это две непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости. Параллельные прямые записываются через знак параллельности «||».

1 Две прямые, параллельные третьей* параллельны.

II. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

III. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

IV. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Объясните решение задачи на построение: Построить середину данного отрезка.

Билет№9

Дайте определение внешнего угла треугольника и сформулируйте его свойство.

Ответ:Внешний угол треугольникапри данной вершине — это угол,смежныйс внутренним углом треугольника при этой вершине.Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Докажите свойство накрест лежащих углов при параллельных прямых

Доказать: ∠1 = ∠2.

Доказательство:

Предположим, что ∠1 ≠ ∠2.

Тогда можно построить ∠ВАК = ∠2. Так как углы ВАК и ∠2 внутренние накрест лежащие при пересечении прямых b и АК секущей с, то b║АК.

Получилось, что через точку А проходят две прямые, параллельные прямой b, что противоречит аксиоме о параллельных прямых.

Значит, предположение неверно и

∠1 = ∠2.

Билет №10

Сформулируйте признаки равенства треугольников.

Ответ:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Докажите свойство соответственных углов при параллельных прямых.

Ответ: Ответ не нашёл!

Билет №11

Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

Ответ: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равен гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Докажите свойство односторонних углов при параллельных прямых.

Сумма односторонних углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей, равна 180°.

Доказательство:

Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей АВ.

Тогда соответственные ∠1 и ∠2 будут равны,

∠2 и ∠3 – смежные, поэтому ∠2 + ∠3 = 180°.

Из равенств ∠1 = ∠2 и ∠2 + ∠3 = 180° следует, что

сумма односторонних углов ∠1 + ∠3 = 180°.

Билет №12

Дата добавления: 2018-06-01 ; просмотров: 1702 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Окружность и круг

Окружность — это замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки: эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом; радиусом называется также и длина этого отрезка.

Круг — это часть плоскости, лежащая внутри окружности. Другими словами, это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа. Число. называется радиусом этого круга.

Содержание:

Определение окружности и круга

Определение. Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки.

Эта точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до ее центра называют радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром.

Определение. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр, называют диаметром.

На рисунке 2.151 изображена окружность с центром в точке О. Отрезок OA — радиус этой окружности, BD — хорда окружности, СМ — диаметр окружности.

Определение. Кругом называют фигуру, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного от данной точки.

Эту точку называют центром круга, а данное расстояние — радиусом круга. Границей круга является окружность с тем же центром и радиусом (рис. 2.152).

Пример:

На какое наибольшее число различных частей, не имеющих общих точек, кроме своих границ, могут разбивать плоскость: а) две окружности; б) три окружности?

Решение:

Изобразим на рисунке соответствующие условию случаи взаимного расположения фигур. Запишем ответ: а) четыре части (рис. 2.153); б) восемь частей (рис. 2.154).

Центральные углы и дуги окружности

Пусть вершина некоторого угла совпадает с центром окружности (рис. 2.155). Угол АОВ мы будем называть центральным углом.

Определение. Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Часть окружности, расположенная внутри угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.

Определение. Пересечение окружности и ее центрального угла называют дугой окружности.

Градусной мерой дуги окружности называют градусную меру соответствующего центрального угла.

Градусная мера дуги АВ на рисунке 2.155 равна градусной мере угла АОВ. Градусная мера дуги АВ обозначается .

Можно ввести еще одну важную единицу измерения дуг. При измерении угловой величины дуги окружности за единицу измерения принимается угловая величина дуги этой окружности, длина которой равна радиусу окружности. Эту единицу измерения угловых величин дуг называют радианом.

Сформулируем некоторые свойства измерения дуг окружностей:

— градусная мера дуги не зависит от размера окружности;

— соответствующие дуги двух концентрических окружностей на рисунке 2.156 имеют одну и ту же градусную меру (величину).

— если дуга (на данной окружности) становится больше, то увеличивается и ее величина.

Окружности (или круги) равны, если равны их радиусы. Можно говорить и о равных дугах окружностей, но равные дуги могут быть или у одной окружности или у равных окружностей.

Определение. Две дуги одной и той же окружности или же равных окружностей называют равными, если они имеют одну и ту же градусную меру.

Вписанные углы

Вершина угла может принадлежать окружности. В этом случае мы получаем вписанные углы.

Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называют вписанным в окружность.

На рисунке 2.157 угол ABC вписанный. Его вершина В принадлежит окружности, стороны ВА и ВС пересекают окружность. В этом случае говорят, что вписанный угол ABC опирается на дугу АС окружности.

Величина вписанного угла выражается в тех же единицах, что и у других углов, а вот правило нахождения этой величины другое.

Теорема 40. Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается.

При доказательстве теоремы 40 необходимо рассмотреть три разных случая, которые изображены на рисунках 2.158—2.160: одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности (рис. 2.158); центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 2.159); центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 2.160).

Из теоремы 40 можно получить следующие следствия:

Следствие 1. Все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, равны.

Следствие 2. Вписанные углы, стороны которых проходят через концы диаметра окружности, прямые.

На рисунке 2.161 стороны вписанного угла ABC проходят через концы диаметра АС, поэтому

Пример:

Точки А, В и С лежат на окружности с центром О. Найдите угол АОС, если

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Точки А, В и С лежат i

2.

3. Найдите

4. Угол ABC, вписанный в окружность, опирается на дугу АС (1, определение вписанного угла).

5. — центральный угол данной окружности (1, определение центрального угла), (1, свойство измерения вписанных углов).

6. (5, свойство измерения центральных углов).

Взаимное расположение прямой и окружности

Возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности, если эта прямая и окружность лежат в одной плоскости:

а) прямая имеет две общие точки с окружностью;

б) прямая имеет только одну общую точку с окружностью;

в) прямая не имеет общих точек с окружностью.

Перечислим условия, определяющие все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности, в зависимости от расстояния между центром окружности и прямой.

1) Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая и окружность не имеют общих точек (рис. 2.163). При этом окружность лежит по одну сторону от прямой.

2) Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то окружность имеет с прямой единственную общую точку, т. е. прямая касается окружности (рис. 2.164). И в этом случае окружность лежит по одну сторону от прямой.

3) Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая пересекает окружность ровно в двух точках (рис. 2.165). В этом случае прямая разбивает окружность на две части.

Определение. Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то говорят, что прямая и окружность пересекаются. В этом случае прямая называется секущей.

Можно доказать свойство секущей окружности.

Теорема 41. Если прямая проходит через точку, внутреннюю относительно окружности, то она является секущей, т. е. пересекает окружность в двух точках.

Определение. Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности, а общую точку прямой и окружности — точкой касания (рис. 2.166).

Все точки касательной, кроме точки касания, лежат вне данной окружности. Действительно, если предположить, что на касательной АВ имеется хотя бы одна точка, лежащая внутри окружности, то прямая АВ должна пересекать окружность в двух точках, поэтому она не может быть касательной.

Прямая и окружность могут иметь только одну общую точку, но через эту точку может проходить бесконечное множество прямых, не лежащих с окружностью в одной плоскости (рис. 2.167).

Теорема 42. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания.

Теорема 43. Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она является касательной к этой окружности.

Пример:

Постройте касательную к данной окружности с центром О и радиусом , проходящую через ее точку А.

Решение:

Из условия задачи имеем: (рис. 2.168)

1. Окр. (О, ).

2. Точка А на окружности.

3. Требуется построить касательную к окружности, проходящую через точку А.

Анализ. Предположим, что задача решена и построена касательная АВ к окружности (рис. 2.168). По теореме 42 касательная АВ перпендикулярна радиусу OA в точке А, поэтому, если построить прямую АВ, перпендикулярную OA, то эта прямая будет искомой.

Построение. Нужно построить перпендикуляр АВ к прямой OA в точке А. Это построение можно свести к построению серединного перпендикуляра к отрезку (рис. 2.168).

Задача имеет только одно решение. Действительно, касательная, проходящая через точку А, должна быть перпендикулярна прямой OA (т. 42), а через точку А в плоскости данного радиуса проходит только одна прямая АВ, перпендикулярная к прямой OA (т. 41).

Взаимное расположение двух окружностей

На рисунке 2.169 изображены две окружности с радиусом и с центром в точке и с радиусом с центром . Эти окружности не имеют общих точек, т. е. не пересекаются. Сравнив расстояние h между центрами и с радиусами окружностей, заметим, что h > + .

Представьте теперь, что первая окружность передвигается так, что расстояние h между центрами и уменьшается. Когда расстояние между центрами станет равным сумме радиусов h = + , окружности будут иметь одну общую точку. О таких окружностях говорят, что они касаются внешним образом, а их общую точку называют точкой касания (рис. 2.170).

При дальнейшем уменьшении расстояния h окружности будут пересекаться, то есть иметь две общие точки (рис. 2.171). При этом

В случае, когда окружности имеют лишь одну общую точку — точку касания (рис. 2.172). Все точки окружности меньшего радиуса, кроме точки касания, будут расположены во внутренней области окружности большего радиуса. В этом случае говорят, что окружности касаются внутренним образом.

При дальнейшем уменьшении расстояния между центрами, т. е. при условии (рис. 2.173), окружности не пересекаются, т. е. не имеют общих точек. Причем окружность меньшего радиуса расположена во внутренней области окружности большего радиуса. В частности, при h = 0 центры окружностей совпадут (рис. 2.174). Окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.

Итак, в зависимости от соотношений между h, две окружности могут не иметь общих точек, могут иметь одну или две общие точки.

а) — окружности не имеют общих точек;

б) — окружности касаются внешним образом;

B) — окружности пересекаются в двух точках;

г) — окружности касаются внутренним образом;

д) — окружности не имеют общих точек;

е) h = 0 — окружности являются концентрическими.

Пример:

Две окружности диаметром 4 и 8 см касаются внешним образом. Чему равно расстояние между центрами окружностей?

Решение:

Радиусы окружностей перпендикулярны их общей касательной, проходящей через точку А (рис. 2.175). Поэтому

Окружности, описанные около треугольника и вписанные в треугольник

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

На рисунке 2.176 изображен треугольник ABC, вписанный в окружность, а окружность будет описана около этого треугольника.

Теорема 44. Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центр такой окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис. 2.176).

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Теорема 45. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 2.177).

Пример:

В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16 см. Вычислите радиусы: 1) вписанной в него окружности; 2) описанной окружности.

Решение:

1) Из условия задачи имеем:

1. Треугольник ABC, в котором , ВС = 12 см, АС = 16 см.

2. О — центр вписанной окружности.

3. Найдите радиус вписанной окружности.

4. ОМ = OL = ОК = , ОМ СА, OL ВС, OK АВ (2, определение окружности, вписанной в треугольник).

Надо найти . Как это сделать? Мы видим, что CMOL — квадрат, и, соединив точку О с точками А и В, применим теорему 45.

5. АО, ВО, СО — биссектрисы углов (4, т. 45) (рис. 2.179).

6. (4, теорема 19).

8. (1, теорема Пифагора).

Вычислим два раза периметр .

9. АВ + ВС + СА = 2АВ + (1, 7).

10. = 8 см, = 4 см (1, 8, 9).

2) Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы, откуда радиус описанной окружности R = 10 см (рис. 2.180).

Многоугольники, вписанные в окружности и описанные около них

Определение. Многоугольник называют вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

На рисунке 2.181 изображен пятиугольник, вписанный в окружность, его вершины А, В, С, D, Е лежат на окружности с центром в точке О, а значит, OA = OB = ОС = OD = ОЕ = , где — радиус окружности, описанной около пятиугольника.

Определение. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

На рисунке 2.182 шестиугольник ABCDEF описан около окружности.

Не всякий многоугольник можно вписать в окружность и не около всякого многоугольника можно описать окружность.

Далее сформулированы свойства и признаки вписанных в окружность четырехугольников.

Например, есть четырехугольники, которые можно вписать в окружность (квадрат всегда можно вписать в окружность, рис. 2.183). А вот ромб вписать в окружность (рис. 2.184) нельзя.

Теорема 46. Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна .

Теорема 47. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Теорема 48. Если сумма двух противоположных углов четырехугольника равна , то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Теорема 49. Если суммы длин противолежащих сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Вписанные и описанные правильные многоугольники

Теорема 50. Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность.

Теорема 51. Во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность.

Теорема 52. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Радиус R окружности, описанной около правильного -угольника со стороной , находится по формуле

Радиус окружности, вписанной в правильный -угольник со стороной , находится по формуле

Сторону правильного -угольника обозначим . Можно доказать теорему:

Теорема 53. Сторона правильного -угольника выражается через радиус R описанной около него окружности формулой

Из этой теоремы можно получить следующие следствия.

Следствие 1.

Действительно,

Следствие 2.

Следствие 3.

Пример:

Впишите в данную окружность правильный восьмиугольник.

Решение:

Два перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части. Для построения правильного восьмиугольника необходимо каждую из этих частей разделить пополам, т. е. провести биссектрисы прямых углов, и полученные восемь точек окружности последовательно соединить отрезками. Получим вписанный в окружность восьмиугольник (рис. 2.185). Равенство сторон и равенство углов восьмиугольника следует из равенства всех восьми треугольников, которые равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, полученный восьмиугольник правильный.

Длина окружности

Из наглядных соображений ясно, что длина окружности сколь угодно мало отличается от периметра вписанного в нее многоугольника с достаточно малыми сторонами. Имеет место такое свойство длины окружности.

Теорема 54. Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для любых двух окружностей.

Отношение длины окружности к диаметру обозначают греческой буквой (читается «пи»): где С — длина окружности, R — ее радиус. Число иррациональное, = 3,1416.

Таким образом, длина окружности вычисляется по формуле

На рисунке 2.186 изображена дуга АВ окружности с центром О.

Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу в , находится по формуле

Радианной мерой угла называют отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы длины дуги окружности следует, что , т. е. радианная мера угла получается из градусной умножением на ; в частности, радианная мера угла 180° равна , радианная мера прямого угла равна .

Единицей радианной меры углов является радиан. Угол в один радиан — это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу. Градусная мера угла в один радиан равна

Пример 1.

Точки М и N делят окружность на две дуги, разность градусных мер которых равна 90°. Чему равны градусные меры каждой из дуг?

Решение:

Сумма градусных мер дуг равна 360°, а разность равна 90°. Обозначим градусные меры этих дуг х и у. Имеем:

Решая эту систему, получим х = 225°, у = 135°.

Пример 2.

Сторона квадрата равна 4 см. Вычислите длину окружности: 1) вписанной в него; 2) описанной около него.

Решение:

1) Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2 см, тогда длина окружности равна

2) Радиус окружности, описанной около квадрата, равен . Поэтому а длина окружности равна

Площадь круга

Коэффициент подобия двух кругов равен отношению их диаметров или радиусов. Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия. Следовательно, площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов. Обозначим радиус круга через S. Отношение площадей двух кругов, радиусы которых записывается так:

Итак, площади кругов пропорциональны квадратам их радиусов.

Коэффициент их пропорциональности, как и в случае с длиной окружности, равен числу . Таким образом:

Площадь круга выражается формулой:

Через диаметр площадь круга выражается формулой:

Части окружности и круга

Определение. Круговым сектором называют часть круга, лежащую внутри соответствующего центрального угла (рис. 2.186).

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле

где — радиус круга, — градусная мера соответствующего центрального угла.

Определение. Круговым сегментом называют общую часть круга и полуплоскости, граница которой содержит хорду этого круга (рис. 2.187, 2.188).

Площадь кругового сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле

Пример 1.

Проведите необходимые измерения и вычислите площади фигур, изображенных на рисунках 2.189—2.191.

Решение:

а) правильный (рис. 2.189), точки К и L — середины его сторон, АКМ и CML — секторы, дуга каждого из которых содержит 60°. Поэтому

где — сторона .

Например, при

б) Считая, что АОВ — сектор с углом 120°, О — центр окружности (рис. 2.190), получим:

где — радиус окружности. Например, при

в) Считая, что дуга АОС (рис. 2.191) проходит через центр окружности О, а ее радиус равен радиусу окружности и , получим:

где — радиус окружности.

Например, при

Пример 2.

Докажите, что сумма площадей двух заштрихованных луночек (рис. 2.192) равна площади прямоугольного треугольника ABC.

Решение:

Обозначим катеты прямоугольного треугольника ABC через , гипотенузу через с (рис. 2.192), а сумму площадей заштрихованных фигур через S.

По теореме Пифагора , т. е.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник