Что такое характеристическая функция
Характеристическая функция множества
Термин характеристическая функция уже занят в теории вероятностей. По этой причине, почти исключительно одни вероятностники используют термин индикаторная функция для определяемой здесь функции, в то время как математикам из других областей для описания принадлежности элементов множеству больше нравится использовать термин характеристическая функция.
Содержание
Определение
(Греческая буква χ происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)
Предупреждение. Обозначение 
может означать функцию идентичности.
Основные свойства
Отображение, которое связывает подмножество 
с его индикатором инъективно. Если A и B — два подмножества 
, то
— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех 
, которые не принадлежат ни одному множеству Ak и 0 иначе. Поэтому
Разворачивая левую часть, получаем
Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.
Библиография
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Характеристическая функция множества» в других словарях:
Характеристическая функция — Характеристическая функция: Характеристическая функция в термодинамике функция, посредством которой определяются термодинамические свойства системы. Характеристическая функция множества функция, устанавливающая принадлежность элемента множеству;… … Википедия
Характеристическая функция (нечёткая логика) — Функция принадлежности нечёткого множества это обобщение индикаторной (или характеристической) функции классического множества. В нечёткой логике она представляет степень принадлежности каждого члена пространства рассуждения к данному нечёткому… … Википедия
Характеристическая функция — в математике, 1) то же, что собственная функция (См. Собственные функции). 2) Х. ф. множества А (в современной терминологии индикатор А) функция f (x), определённая на некотором множестве Е, содержащем множество А, и… … Большая советская энциклопедия
Непрерывная функция — Эта статья о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение. Непрерывная функция функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения… … Википедия
Нечеткие множества — Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия
Нечёткие множества — Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия
Пушистые множества — Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия
Индикаторная функция — Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция подмножества это функция, определенная на множестве X, которая указывает на принадлежность элемента подмножеству A. Термин характеристическая функция уже занят в теории… … Википедия
Область значений функции — Область значений функции множество значений, которые принимает функция в результате ее применения. Содержание 1 Определение 2 Примеры 2.1 Числовые функции … Википедия
Характеристическая функция
Полезное
Смотреть что такое «Характеристическая функция» в других словарях:
Характеристическая функция — Характеристическая функция: Характеристическая функция в термодинамике функция, посредством которой определяются термодинамические свойства системы. Характеристическая функция множества функция, устанавливающая принадлежность элемента множеству;… … Википедия
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — в термодинамике, функция состояния независимых параметров, определяющих состояние термодинамич. системы. К X. ф. относятся потенциалы термодинамические и энтропия. Посредством Х … Физическая энциклопедия
характеристическая функция — Функция состояния термодинамической системы соответствующих независимых термодинамических параметров, характеризующаяся тем, что посредством этой функции и производных ее по этим параметрам могут быть выражены в явном виде все термодинамические… … Справочник технического переводчика
Характеристическая функция — [characteristic function] в теории кооперативных игр, соотношение, которое определяет величину минимального выигрыша для любой коалиции в игре. При объединении двух коалиций значение Х.ф. будет не меньше суммы таких функций для необъединенных… … Экономико-математический словарь
характеристическая функция — būdingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visas termodinaminės sistemos savybes. atitikmenys: angl. characteristic function rus. характеристическая функция … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas
характеристическая функция — būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. characteristic function vok. charakteristische Funktion, f rus. характеристическая функция, f pranc. fonction caractéristique, f … Fizikos terminų žodynas
характеристическая функция — Функция состояния независимых параметров, характеризующаяся тем, что посредством этой функции и производных ее по этим параметрам могут быть выражены все термодинамические свойства системы … Политехнический терминологический толковый словарь
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — преобразование Фурье Стилтьеса вероятностной меры комплскснозначная функция, заданная на всей числовой оси формулой X. ф. случайной величины Xпо определению есть X. ф. ее вероятностного распределения Метод, связанный с использованием X. ф., был… … Математическая энциклопедия
Характеристическая функция случайного процесса — Источник: ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения оригинал документа … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Метод характеристических функций в теории множеств
Доказательство сложных теоретико-множественных тождеств методом двух включений часто бывает довольно громоздким, и при построении доказательства ход рассуждений не всегда очевиден. Одним из методов, не требующих «угадывания» пути доказательства, является метод характеристических функций.
Характеристическая функция множества есть функция, отображающая универсальное множество в двухэлементное множество
Из определения характеристической функции множества вытекает справедливость тождества
удовлетворяет этому требованию.
Можно предположить, что характеристическая функция объединения множеств и будет равна сумме характеристических функций множеств. Однако так ее определить нельзя, поскольку для элементов такая сумма будет иметь значение 2. Введем «поправку» и в результате получим искомую формулу:
Непосредственно из определения — дополнения множества — следует, что
Для разности характеристическая функция имеет вид
Отметим, что последнюю формулу можно получить, опираясь на свойство 19 и тождество (1.10), а также на характеристические функции для пересечения, объединения и разности:
С учетом равенства (1.10) полученную формулу можно записать в виде
Метод характеристических функций доказательства справедливости теоретико-множественного тождества заключается в выражении характеристических функций обеих его частей через характеристические функции входящих в него множеств. Тождество верно тогда и только тогда, когда характеристические функции левой и правой частей совпадают.
Пример 1.22. Используя метод характеристических функций, выясним, справедливо ли тождество
Характеристические функции левой и правой частей тождества совпадают. Следовательно, тождество верно.
Пример 1.23. Выясним, является ли тождеством следующее выражение:
Легко видеть, что получены разные характеристические функции. Например,при и имеем
Отметим, что метод характеристических функций не является универсальным. Так, его нельзя использовать при доказательстве тождеств, содержащих декартово произведение множеств, в частности, тождеств для соответствий (бинарных отношений).
СОДЕРЖАНИЕ
Вступление
Определение
Обобщения
Примеры
Оберхеттингер (1973) предоставляет обширные таблицы характеристических функций.
Характеристики
Непрерывность
Формулы обращения
В многомерном случае это
Доступны формулы обращения для многомерных распределений.
Критерии для характеристических функций
Множество всех характеристических функций замыкается при выполнении определенных операций:
Использует
Основные манипуляции с распределениями
φ S п ( т ) знак равно φ Икс 1 ( а 1 т ) φ Икс 2 ( а 2 т ) ⋯ φ Икс п ( а п т ) <\ displaystyle \ varphi _ 
Независимость X и Y требуется для установления равенства третьего и четвертого выражений.
φ Икс ¯ ( т ) знак равно φ Икс ( т п ) п <\ displaystyle \ varphi _ <\ overline
Моменты
Характеристические функции также могут использоваться для поиска моментов случайной величины. При наличии n- го момента характеристическая функция может быть дифференцирована n раз и
Анализ данных
Пример
Теперь предположим, что у нас есть
\ sim \ Gamma (k_ <1>, \ theta) <\ mbox
что в силу независимости и основных свойств характеристической функции приводит к
Результат может быть расширен до n независимых случайных величин с гамма-распределением с одинаковым масштабным параметром, и мы получим
Целые характеристические функции
Как определено выше, аргумент характеристической функции рассматривается как действительное число: однако некоторые аспекты теории характеристических функций расширяются за счет расширения определения на комплексную плоскость путем аналитического продолжения в тех случаях, когда это возможно.
Связанные понятия
где P ( t ) обозначает непрерывное преобразование Фурье функции плотности вероятности p ( x ). Точно так же p ( x ) может быть восстановлено из φ X ( t ) с помощью обратного преобразования Фурье:
Действительно, даже когда случайная величина не имеет плотности, характеристическую функцию можно рассматривать как преобразование Фурье меры, соответствующей случайной величине.
Характеристическая функция
 | Список значений слова или словосочетания со ссылками на соответствующие статьи. Если вы попали сюда из другой статьи Википедии, пожалуйста, вернитесь и уточните ссылку так, чтобы она указывала на статью. |
Полезное
Смотреть что такое «Характеристическая функция» в других словарях:
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — в термодинамике, функция состояния независимых параметров, определяющих состояние термодинамич. системы. К X. ф. относятся потенциалы термодинамические и энтропия. Посредством Х … Физическая энциклопедия
характеристическая функция — Функция состояния термодинамической системы соответствующих независимых термодинамических параметров, характеризующаяся тем, что посредством этой функции и производных ее по этим параметрам могут быть выражены в явном виде все термодинамические… … Справочник технического переводчика
Характеристическая функция — [characteristic function] в теории кооперативных игр, соотношение, которое определяет величину минимального выигрыша для любой коалиции в игре. При объединении двух коалиций значение Х.ф. будет не меньше суммы таких функций для необъединенных… … Экономико-математический словарь
характеристическая функция — būdingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visas termodinaminės sistemos savybes. atitikmenys: angl. characteristic function rus. характеристическая функция … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas
характеристическая функция — būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. characteristic function vok. charakteristische Funktion, f rus. характеристическая функция, f pranc. fonction caractéristique, f … Fizikos terminų žodynas
характеристическая функция — Функция состояния независимых параметров, характеризующаяся тем, что посредством этой функции и производных ее по этим параметрам могут быть выражены все термодинамические свойства системы … Политехнический терминологический толковый словарь
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — преобразование Фурье Стилтьеса вероятностной меры комплскснозначная функция, заданная на всей числовой оси формулой X. ф. случайной величины Xпо определению есть X. ф. ее вероятностного распределения Метод, связанный с использованием X. ф., был… … Математическая энциклопедия
Характеристическая функция — в математике, 1) то же, что собственная функция (См. Собственные функции). 2) Х. ф. множества А (в современной терминологии индикатор А) функция f (x), определённая на некотором множестве Е, содержащем множество А, и… … Большая советская энциклопедия
Характеристическая функция случайного процесса — Источник: ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения оригинал документа … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации