Что такое функция в математике простыми словами
Что такое функция в математике
Понятие функции в математике появилось не просто так. Давайте разберемся, зачем придумали функцию и как с ней можно работать.
| Сколько времени двигается автомобиль | Сколько км проедет автомобиль |
|---|---|
| 1 час | 60 км |
| 2 часа | 120 км |
| 3 часа | 180 км |
Если внимательно изучить таблицу станет очевидно, что между временем автомобиля в пути и пройденным расстоянием есть четкая зависимость.
Обозначим за « x » время автомобиля в пути.
Обозначим за « y » расстояние, пройденное автомобилем.
Запишем зависимость « y » (расстояния) от « x » (времени в пути автомобиля).
Давайте убедимся, что мы правильно записали зависимость пройденного расстояния от времени в пути.
Теперь вместо « y » запишем обозначение « y(x) ». Такая запись означает, что « y » зависит от « x ».
Окончательная запись нашей функции, которая показывает зависимость пройденного автомобилем расстояния от времени в пути, выглядит следующим образом:
Функцией называют зависимость « y » от « x ».
Запись функции в виде « y(x) = 60x » называют формульным способом задания функции.
Конечно, нужно понимать, что функция « y(x) = 60x » — это не единственная в мире функция. В математике бесконечное множество самых разнообразных функций.
Примеры других функций:
Единственное, что объединяет все функции, это то, что они показывают зависимость значения функция (« y ») от её аргумента (« x »).
Способы задания функции
Задание функции формулой
Через формульный способ задания функции всегда можно сразу по конкретному значению аргумента « x » найти значение функции « y ».
Например, рассмотрим функцию, заданную формульным способом.
Запишем расчет следующим образом.
Табличный способ задания функции
С табличным способом задания функции мы уже встречались, когда расписывали таблицу для функции, которая описывает движение автомобиля « y(x) = 60x ».
Любую функцию можно записать с помощью таблицы. Для этого достаточно найти несколько значений « y » для произвольно выбранных значений « x ».
Будьте внимательны, когда подставляете значение « x » в функцию,
у которой перед « x » есть минус.
Нельзя терять знак минуса, который стоит перед « x ».
При подстановки отрицательного числа в функцию вместо « x » обязательно заключайте отрицательное число в скобки. Не забывайте использовать правило знаков.
Подставим в функцию « y(x) = −x + 4 » вместо « x » отрицательное число « −1 ».
Неправильно
Правильно
Запишем полученные результаты в таблицу. Таким образом мы получили табличный способ задания функции « y(x) = −x + 4 ».
| x | y |
|---|---|
| −1 | 5 |
| 0 | 4 |
| 1 | 3 |
Графический способ задания функции
Теперь давайте разберемся, что называют графиком функции и как его построить.
Прежде чем перейти к изучению графического способа задания функции обязательно вспомните, что называют прямоугольной системой координат.
Рассмотрим функцию « y(x) = −2x + 1 ».
Результаты запишем в таблицу.
| x | Расчет |
|---|---|
| −1 | y(−1) = −2 · (−1) + 1 = 2 + 1 = 3 |
| 0 | y(0) = −2 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1 |
| 1 | y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1 |
Назовем каждую полученную точку и запишем их координаты в новую таблицу.
| Имя точки | x | y |
|---|---|---|
| (·) A | −1 | 3 |
| (·) B | 0 | 1 |
| (·) C | 1 | −1 |
Соединим отмеченные точки прямой. Проведенная прямая будет графиком функции « y(x) = −2x + 1 ».
График функции — это объединение всех точек, координаты которых мы можем найти, подставляя в функцию произвольные числовые значения вместо « x ».
Другими словами можно сказать, что под графиком функции мы понимаем множество всех точек, координаты которых мы можем найти, подставляя в функцию любые числовые значения вместо « x ».
Полученный график функции « y(x) = −2x + 1 » это бесконечное множество точек, которые лежат на одной прямой.
При многократном увеличении графика функции мы увидим, что в самом деле вся прямая состоит из рядом стоящих точек.
Точки располагаются максимально близко к друг другу, поэтому по расчетам получается, что графиком функции будет являться прямая.
Что такое функция?
Это слово используется очень часто. И в научном диспуте и обычной болтовне… Но кто и из нас точно знает, о чем идет речь? Что такое функция?
Простое объяснение функции — это зависимость, связь или действие. Все зависит от контекста, но к концу этой статьи все станет ясно и понятно (и самому автору тоже).
История функции
Само слово “функция” — латинского происхождения. С латыни оно переводится как “выполнение” или “совершение”, что в принципе одно и то же — действие. Функционировать, и сейчас означает выполнять какое-то действие.
Что такое функция в математике
В математике функция означает — «зависимость». Это самое простое и короткое объяснение. Но для тех, кому еще не стало все понятно…
Больше всего трудностей с пониманием как обычно нам дарит как раз математика. Термин функция в математике появился, лишь в 17-м веке. Хотя само явление было известно гораздо раньше именно в переписке двух математиков Бернули и Лейбница это слово было употреблено в значении очень близком к современному.
Функция существовала в математике и до этого, просто общепринятого термина и его определение не было. Например, не менее известные, Пьер Ферма (автор теоремы своего имени), Рене Декарт и даже Ньютон, отлично понимали предмет, но не пользовались термином.
Первое определение функции в математике дал Леонард Эйлер в 1751 году. До Эйлера функцию объясняли как:
Некоторое сопоставление постоянных и переменных
Эйлер же выразился намного более определенно:
Эйлер считал, что функция — это соответствие между парами чисел.
Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых…
Зависимость одного множества чисел от другого и есть функция. В то время, когда знаменитый математик написал эти слова, он был участником так называемого спора о струне.
Итак, зависимость (или связь или соответствие) одного множества от другого.
Эта зависимость обозначается буквой ƒ
Здесь x это аргумент функции, или независимая переменная, а y — зависимая переменная или “функция икс”.
Это можно прочитать как “каждому значению игрек соответствует определенное (а определяется оно законом f(x)) значение икс” или “игрек зависит от икс по некоторому закону.”
То есть когда какие либо два набора (множества) чисел или объектов связаны между собой по какому-то закону, мы имеем дело с функцией. Икс и игрек это просто буквы которые принято использовать сами по себе они ничего не значат, можно написать любые другие.
Например: Давление воды, это функция глубины.
Чем глубже, тем выше будет давление. Пословица “Чем дальше в лес, тем больше дров” — тоже функция (количества дров от расстояния), а “Как с гуся вода” — уже нет. Потому, что гусь с водой никаким законом не связан.
Запись y=f(x) говорит о том, что между х и у есть связь, но непонятно какая. Она может быть у=х (каждому игреку свой икс), а может и у=2х (каждому игреку соответствует икс умноженный на два). Зависимость может быть любой, но она должна быть.
Функция в физике
Функция — может быть, например, величиной изменяющейся с течением времени (или не времени, а чего-то другого, просто время более понятно).
Например, скорость это функция изменения расстояния от времени. Если расстояние пройденное за определенное время разделить на это время получим — скорость.
v=s/t x=f(t) функция изменения координаты по времени. Можно сказать ”зависимость изменения координат от времени.”
Физика, как наука “о природе” помогает лучше понять математику. Тут все можно объяснить простыми словами, даже «функцию».
Давайте представим самую обычную ситуацию. Человек куда-то идет. За первый час он прошел 5 километров, за второй еще 5, потом еще…Через 3 часа он устал, и начал идти медленнее — 4 км…. В конечном итоге (через 5 часов прогулки, и вовсе остановился, чтобы отдохнуть.
Мы гуляли 5 часов и протопали 5+5+5+4+3=22 километра (воображаемый человек не курит и гуляет в удобной обуви). Зависит ли пройденное расстояние от времени? Конечно да, чем дальше гуляем, тем дальше окажемся от дома. Расстояние зависит от времени — это функция. В столбике выше у нас ее табличное выражение.
Причем в первые три часа функция линейная, а дальше — уже нет. Почему? В реальном мире, из-за усталости скорость уменьшилась. А в “мире науки”. Если взять изобретение господина Декарта и нарисовать то, что у нас в таблице.
Получится график функции или ее графическое изображение. На графике видно, что первые 3 часа наш пешеход шел с одинаковой скоростью, линия прямая (зеленого цвета). Он устал и начал идти медленнее, и с каждым шагом все медленнее и медленнее (оранжевая кривая линия). Если бы линия была прямой все время, мы бы преодолели расстояние в 25 км. Но это не так. Делим расстояние 15 км на 3 часа и получаем скорость 5 км/ч делим 4 на 1 час и 3 тоже на 1 и получаем скорости 4 км/ч и 3 км/ч.
Но прелесть зависимости в том, что если мы захотим узнать, какая скорость была через 4 часа и 30 минут, достаточно провести линию снизу вверх до пересечения с графиком (синяя точка) и справа налево до оси на которой находится расстояние и поделить одно на другое (расстояние на время). Можно даже узнать, что будет если не остановится и не отдыхать. Продлеваем график еще на один час и вуаля:
Ну это на графике, а в самой первой таблице нет времени 4:30 и нет ничего после 6-ого часа.
Нет и не нужно. Функция — это зависимость и выразить ее можно еще одним способом — аналитическим. Получится формула.
Здесь t — это аргумент функции, такой же, как и “икс” в абзаце о математике. А “икс” обозначения координаты которая меняется в зависимости от времени t.
Зная по какому закону время зависит от расстояния, можно рассчитать скорость в любой момент времени.
В нашем примере закон у=5х или s=5t, но только на участке от нуля до трех, дальше зависимость нелинейная и отражается кривой линией. Но
С другой стороны, есть значение слова “действие” (если еще не забыли). Кто с кем и что делает? В нашем примере расстояние меняется со временем. Это то же самое, что и “время изменяет расстояние”? В принципе, да вполне логично.
Математики вообще могут сказать что, “оператор f действует из множества х в множество y”.
Функция — роль и предназначение
Функция молотка — забивание гвоздей. А Центрального банка (не единственная) — выдача кредитов банкам помельче.
Вот мы и вернулись к первоначальному значению латинского слова “выполнять”. Молоток (выполняет работу) по забиванию гвоздей. Банк (выполняет работу) по выдаче кредитов. В обоих случаях есть и связь одного с другим и какое-то действие оправдывающее существование и молотка и банка.
В программировании функция — это код выполняющий определенную задачу. Подпрограмма которую можно “вызывать” (обычно много раз) для выполнения некой задачи. Вот пример из php (языка, который используется на этом сайте):
Даже не будучи программистом становится понятно, что функция по имени «sum» суммирует 2 переменные.
Итак функция, это зависимость, или работа, или предназначение… Зависит от контекста, но всегда есть минимум две сущности (может быть и больше) связанные каким-то правилом или законом, которые действуют одна на другую. Что-то с чем-то связано, кто-то на что-то оказывает влияние. Такая одновременно и простое и сложное, почти философское понятие, но встречается нам каждый день.
Что такое функция
Понятие функции – одно из основных в математике.
На уроках математики вы часто слышите это слово. Вы строите графики функций, занимаетесь исследованием функции, находите наибольшее или наименьшее значение функции. Но для понимания всех этих действий давайте определим, что такое функция.
Определение функции можно дать несколькими способами. Все они будут дополнять друг друга.
1. Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами.
Чем больше глубина, тем больше давление жидкости. Можно сказать, что давление жидкости является функцией от глубины, на которой его измеряют.
2. Можно дать и другое определение.
Функция – это определенное действие над переменной.
Итак, функция – это действие над переменной. В этом значении слово «функция» применяется и в областях, далеких от математики. Например, можно говорить о функциях мобильного телефона, о функциях головного мозга или функциях депутата. Во всех этих случаях речь идет именно о совершаемых действиях.
3. Дадим еще одно определение функции – то, что чаще всего встречается в учебниках.
Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.
Но зачем здесь такое длинное уточнение: «каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго»? Оказывается, что соответствия между множествами тоже бывают разные.
Могут быть и другие типы соответствий между множествами. Возьмем для примера компанию друзей и месяцы, в которые они родились:
Каждый человек родился в какой-то определенный месяц. Но данное соответствие не является взаимно-однозначным. Например, в июне родились Сергей и Олег.
А каким должно быть соответствие между двумя множествами, чтобы оно не являлось функцией? Очень просто! Возьмем ту же компанию друзей и их хобби:
Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества.
Очень сложно было бы описать такое соответствие математически, не правда ли?
Вот другой пример. На рисунках изображены кривые. Как вы думаете, какая из них является графиком функции, а какая – нет?
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Перечислим способы задания функции.
Это примеры функций, заданных формулами.
К тому же не всегда легко вывести точную формулу функции. Например, курс доллара (то есть зависимость стоимости доллара от времени) можно показать только на графике.
Функция (в математике)
Функция (в математике) — зависимость между двумя или большим количеством величин, при которой каждым значениям одних величин, называемых аргументами функции, ставятся в соответствие значения других величин, называемых значениями функции.
Например, функция сложения двух чисел ставит в соответствие слагаемым их сумму, то есть, к примеру, паре чисел 2 и 3 ставит в соответствие число 5.
Наиболее часто применяющиеся в математике функции относятся к так называемым однозначным функциям, то есть, каждому конкретному набору значений аргументов ставится в соответствие только одно значение. Отсюда и происхождение термина.
Такова, например, функция сложения двух чисел.
Каждая функция выражает некую закономерность, или даже закон, свойственную природе и проявляющуюся через измеряемые величины.
Например, Второй закон Ньютона выражается в виде функции
и дает нам значение ускорения, которое получит тело массы m, если к нему приложить силу F.
Это закон природы, все тела во Вселенной подчиняются ему! А выражается он такой простой функцией.
Когда какая-то величина зависит от других величин, говорят, что она является их функцией. Например, в случае закона Ньютона, ускорение является функцией массы и силы.
В зависимости от количества аргументов, от которого зависит функция, она может быть одно- или много- местной. Одноместная функция зависит от одного аргумента. Двухместная функция зависит от двух аргументов (таковы рассмотренные в этой статье функции) и так далее.
определена только для целых положительных значений x. При
определена для вещественных или комплексных значений x, модули которых меньше единицы. Ф. вида
Что такое функция (ЕГЭ — 2022)
Понятие «функция» пронизывает все сферы математики и не только.
Мы все знаем, что функция записывается как \( \displaystyle y=f\left( x \right)\), но можешь ли ты ответить, что обозначает эта формула?
Если да, то ты большой молодец!
А если нет, – не страшно! Сейчас быстренько во всем разберемся!
Функции — коротко о главном
Определение функции:
Функцией называется правило \( \displaystyle f\), по которому каждому элементу \( \displaystyle x\) множества \( \displaystyle X\) ставится в соответствие единственный элемент \( \displaystyle y\) множества \( \displaystyle Y\).
Свойства и способы задания:
Допустимые значения аргумента, или область определения функции \( \displaystyle D\left( y \right)\) – это то, что связано с возможными \( \displaystyle x\), при которых функция имеет смысл.
Область значений функции \( \displaystyle E\left( y \right)\) – это то, какие значения принимает \( \displaystyle y\), при допустимых значениях \( \displaystyle x\).
Существует 4 способа задания функции:
Основные виды функций:
Сейчас все это разберем подробнее.
Что такое функция — человеческим языком
Так вот, функция отражает зависимость величин друг от друга: то есть при изменении одного числа \( \displaystyle x\), по некоторому закону \( \displaystyle f\left( x \right)\) изменяется \( \displaystyle y\).
Зависимость, или взаимосвязь – вот ключевые слова при определении понятия функции.
Попробуй самостоятельно придумать несколько примеров из жизни, где четко проявляется зависимость одного от другого.
И?… Не можешь придумать ни один пример? Как так! Смотри:
Допустим автомобиль движется со средней скоростью \( \displaystyle 110\) км/ч, как тогда выразить зависимость пути \( \displaystyle S\) от времени \( \displaystyle t\)?
\( \displaystyle S=110\cdot t\)
То есть чем больше времени автомобилист проведет за рулем, тем больше расстояние он преодолеет на своем автомобиле. Чем не зависимость?
Что в этом случае будет \( \displaystyle y\), что \( \displaystyle x\), и как будет выражено в итоге \( \displaystyle f\left( x \right)\)?
Проведем параллели между физической формулой и привычной нам записью функции \( \displaystyle y=f\left( x \right)\):
Разобрался что к чему? Теперь перейдем на математический язык.
Что такое функция — на языке математики
Итак. Еще раз смотрим на нашу формулу:
\( \displaystyle y=f\left( x \right)\)
Слева стоит \( \displaystyle y\) – это и есть функция. За этой буквой может быть все что угодно: температура, скорость, сила, путь – неважно! \( \displaystyle y\) – зависимая величина.
Она может зависеть от множества критериев. Например, как в нашем случае, зависимость пути от времени, проведенном в дороге при движении с постоянной скоростью.
Справа у нас стоит \( \displaystyle x\). Эта величина переменная, или, как говорят математики, «аргумент».
Логично, что чем больше времени проведет автомобилист в дороге, тем большее расстояние он проедет (конечно, если скорость будет постоянна, и он не встрянет намертво в пробках).
Справа у нас также есть \( \displaystyle f\), за этим скрываются все действия, совершаемые над \( \displaystyle x\).
В нашем случае мы говорим, что \( \displaystyle S=\nu \cdot t\), а так как \( \displaystyle \nu =110\)км/ч, то под \( \displaystyle f\) скрывается умножение на \( \displaystyle 110\), вот мы и получаем – \( \displaystyle f\left( x \right)=110\cdot x\).
Теперь, думаю, тебе все понятно?
Подведем итог:
Теперь, когда ты понял суть понятия «функция» и знаешь, что такое переменная величина, а что постоянная, посмотрим на определение функции, каким его дают математики.
Определение функции
Функцией называется правило \( \displaystyle f\), по которому каждому элементу \( \displaystyle x\) множества \( \displaystyle X\) ставится в соответствие единственный элемент \( \displaystyle y\) множества \( \displaystyle Y\).
Вроде и \( \displaystyle x\) есть… и \( \displaystyle y\) есть, и даже правило \( \displaystyle f\) есть, но что это за множества такие?
«О них мы ни слова не говорили!» – воскликнешь ты. Не паникуй! 🙂 Множества – это очень просто, сейчас все-все проясним!
Область определения функции
Вернемся к нашему примеру.
Автомобилист едет с постоянной скоростью и проезжает расстояние, которое зависит от того, сколько времени он провел в пути. Все верно?
Разбираемся дальше. Мы говорили, что \( \displaystyle x=t\), это как раз и есть время, проведенное в пути.
Каким оно может быть? Ты сейчас можешь быть крайней удивлен такой постановкой вопроса, но все же, каким может быть это время?
Правильно, чисто теоретически от \( \displaystyle 0\) до \( \displaystyle +\infty \).
Вот ты сам и определил для нашего конкретного случая множество \( \displaystyle X\), а иначе говоря, допустимые значения аргумента или область определения функции \( \displaystyle D\left( y \right)\).
Запомнить очень легко: что определяет нашу функцию? От чего зависит игрек, и что мы меняем?
Функцию определяет икс! Соответственно, область определения – это возможные значения \( \displaystyle x\).
Теперь давай рассматривать, что такое множество \( \displaystyle Y\).
Область значений функции
Думаю, ты сам ответишь, что путь не может быть отрицательным, так что \( \displaystyle y=S\) в нашей с тобой придуманной функции так же может принимать значения в промежутке от \( \displaystyle 0\) до \( \displaystyle +\infty \).
Это называется областью значений функции \( \displaystyle E\left( y \right)\), то есть множество \( \displaystyle Y\), которые существуют для данной функции.
Итак, сделаем небольшой вывод по последнему:
Допустимые значения аргумента, или область определения функции \( \displaystyle D\left( y \right)\) – это то, что связано с возможными \( \displaystyle x\), при которых функция имеет смысл.
Область значений функции \( \displaystyle E\left( y \right)\) – это то, какие значения принимает \( \displaystyle y\), при допустимых значениях \( \displaystyle x\).
Давай потренируемся находить области определения функции и ее допустимые значения.
Область определения функции по графикам
Решение
Обязательно пробуй сначала решать самостоятельно!
Все верно? Молодец! Что-то не понятно? Спрашивай в комментариях!
Теперь попробуем найти область значения фунции.
Области значений функции по графикам
Еще раз поработаем с графиками, только теперь чуть-чуть посложнее…
Области значений и определения функции по графикам
Решение:
(Б) \( \displaystyle D\left( y \right)=\left( 1;+\infty \right)\)
\( \displaystyle E\left( y \right)=\left\< 1 \right\>\).
Область определения функции по формулам (аналитически)
С графиками, я думаю, ты разобрался. Теперь попробуем в соответствии с формулами найти область определения функции (если ты не знаешь, как это сделать, прочитай раздел про ОДЗ — область допустимых значений).
Справился? Смотри ответы:
Еще один важный момент
Еще раз повторю определение и сделаю на нем акцент:
Функцией называется правило \( \displaystyle f\), по которому каждому элементу \( \displaystyle x\) множества \( \displaystyle X\) ставится в соответствие единственный элемент \( \displaystyle y\) множества \( \displaystyle Y\).
Заметил? Слово «единственный» – это очень-очень важный элемент нашего определения. Постараюсь объяснить тебе на пальцах.
Допустим, у нас есть функция, заданная прямой. \( \displaystyle y=5x+3\). При \( \displaystyle x=0\), мы подставляем данное значение в наше «правило» и получаем, что \( \displaystyle y=3\).
Одному значению \( \displaystyle x\) соответствует одно значение \( \displaystyle y\). Мы даже можем составить таблицу различных значений и построить график данной функции, чтобы убедится в этом.
А вот и график с нашими отмеченными точками:
Как ты убедился – графиком является прямая, в которой одному значению \( \displaystyle x\) соответствует одно значение \( \displaystyle y\) (данный факт показан красными линиями).
Соответственно, данная зависимость подходит под определение функции.
А что ты скажешь о такой зависимости: \( \displaystyle y=2<
Дело в том, что, при расчёте для \( \displaystyle x=0\), мы получили один игрек. И при расчёте с \( \displaystyle x=2\) мы получили один игрек. Так что все верно, парабола является функцией.
Посмотри на график:
Разобрался? Если нет, вот тебе жизненный пример сооовсем далекий от математики!
Допустим, у нас есть группа абитуриентов, познакомившихся при подаче документов, каждый из которых в разговоре рассказал, где он живет:
Согласись, вполне реально, что несколько ребят живут в одном городе, но невозможно, чтобы один человек жил в нескольких городах одновременно. Это как бы логичное представление нашей «параболы» – нескольким разным икс соответствует один и тот же игрек.
Теперь придумаем пример, когда зависимость не будет функцией. Допустим, эти же ребята рассказывали, на какие специальности они подали документы:
Здесь у нас совершенно другая ситуация: один человек может спокойно подать документы как на одно, так и на несколько направлений. То есть одному элементу \( \displaystyle x\) множества \( \displaystyle X\) ставится в соответствие несколько элементов \( \displaystyle y\) множества \( \displaystyle Y\). Соответственно, это не функция.
Проверим твои знания на практике. Определи по рисункам, что является функцией, а что нет:
Разобрался? А вот и ответы:
Почему? Да вот почему:
На всех рисунках кроме В) и Е) на один \( \displaystyle x\) приходится несколько \( \displaystyle y\)!
Уверена, теперь ты с легкостью отличишь функцию от «НЕ функции», скажешь, что такое аргумент и что такое зависимая переменная, а так же определишь область допустимых значений аргумента и область определения функции.
Приступаем к следующему разделу – как задать функцию?
4 способа задать функцию
Задать функцию — это значит определить правило, по которому по значениям переменной можно найти ее значения.
Разберемся во всем по порядку, а начнем с аналитического способа.
Аналитический способ заданий функции
Аналитический способ – это и есть задание функции с помощью формулы. Это самый универсальный и исчерпывающий и однозначный способ.
Если у тебя есть формула, то ты знаешь о функции абсолютно все – ты можешь составить по ней табличку значений, можешь построить график, определить, где функция возрастает, а где убывает, в общем, исследовать ее по полной программе.
Рассмотрим функцию \( \displaystyle f\left( x \right)=<
«Что это значит?» – спросишь ты. Сейчас объясню.
Напомню, что в записи \( \displaystyle f(x)\) выражение в скобках называется аргументом.
И этот аргумент может быть любым выражением, не обязательно просто \( \displaystyle x\). Соответственно, каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо \( \displaystyle x\) в выражении \( \displaystyle f(x)\).
В нашем примере получится так:
Пример из ЕГЭ
Найдите значение выражения \( \displaystyle \frac
Уверена, что сначала ты испугался, увидев такое выражение, но в нем нет абсолютно ничего страшного!
Что же нужно сделать в нашем примере? Вместо \( \displaystyle f\left( x-15 \right)\) надо написать \( \displaystyle <<5>^
А дальше, используя свойства степени (можешь лишний раз одним глазком заглянуть в соответствующую тему – не помешает), а именно:
сократить получившееся выражение:
Теперь попробуй самостоятельно найти значение следующих выражений:
Справился? Сравним наши ответы:
Мы привыкли, что функция имеет вид \( \displaystyle y=f\left( x \right)\), даже в наших примерах мы задаем функцию именно таким образом, однако аналитически можно задать функцию в неявном виде, например \( \displaystyle 5x+2y-3=0\). Попробуй построить эту функцию самостоятельно.
Вот как строила ее я.
Какое уравнение мы в итоге вывели? Правильно! Линейное, а это значит, что графиком будет прямая линия. Сделаем табличку, чтобы определить, какие точки принадлежат нашей прямой:
А теперь строим по данным точкам график:
Вот так из неявной формулы получилась линейная функция.
А теперь посмотри следующую формулу: \( \displaystyle <
Попробуй подставить различные значения \( \displaystyle x\) и посмотреть, какой \( \displaystyle y\) им соответствует.
Вот как раз то, о чем мы говорили… Одному \( \displaystyle x\) соответствует несколько \( \displaystyle y\). Попробуем нарисовать то, что получилось:
Является ли то, что у нас получилось функцией? Правильно, нет! Почему? Попробуй ответить на этот вопрос с помощью рисунка. Что у тебя вышло?
«Потому что одному значению \( \displaystyle x\) соответствует несколько значений \( \displaystyle y\)!»
Какой вывод мы можем из этого сделать?
Правильно, функция не всегда может быть выражена явно, и не всегда то, что «замаскировано» под функцию является функцией!
Табличный способ задания функции
Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. Да, да. Наподобие той, которой мы с тобой уже составляли. Например:
Как ты уже знаешь, в первой строчке мы ставим значение аргумента, а во второй строчке – соответствующие ему значение функции. Таким образом, в таблице каждому иксу соответствует одно значение игрека.
Заметь, в последней приведенной табличке невозможно четко определить правило, по которому игрек зависит от икс. Так тоже бывает и в этом нет ничего страшного, просто мы не можем вот так сразу взять и определить правило.
Если тебя это смущает, приведу в пример другую таблицу:
Здесь ты сразу подметил закономерность – игрек в три раза больше чем икс.
А теперь задание на «очень хорошо подумать»: как ты считаешь, равносильная ли функция, заданная в виде таблицы, функции \( \displaystyle y=3x\)?
Не будем долго рассуждать, а будем рисовать!
Итак. Рисуем функцию, заданную обоими способами:
Видишь разницу? Дело совсем не в отмеченных точках! Присмотрись внимательнее:
Теперь увидел? Когда мы задаем функцию табличным способом, мы на графике отражаем только те точки, которые есть у нас в таблице и линия (как в нашем случае) проходит только через них.
Когда мы задаем функцию аналитическим способом, мы можем взять любые точки, и наша функция ими не ограничивается. Вот такая вот особенность. Запоминай!
Графический способ построения функции
Графический способ построения функции не менее удобен. Мы рисуем нашу функцию, а другой заинтересованный человек может найти чему равен игрек при определенном икс и так далее.
Графический и аналитический способы одни из самых распространенных.
Однако, здесь нужно помнить о чем мы с тобой говорили в самом начале – не каждая «загогулина» нарисованная в системе координат является функцией! Вспомнил? На всякий случай скопирую тебе сюда определение, что функцией является:
Как правило, люди обычно называют именно те три способа задания функции, которые мы разобрали – аналитический (с помощью формулы), табличный и графический, напрочь забывая о том, что функцию можно словесно описать.
Как это? Да очень просто!
Словесный способ задания функции
Как же описать функцию словесно?
Возьмем наш недавний пример – \( \displaystyle y=3x\).
Данную функцию можно описать «каждому действительному значению икс соответствует его утроенное значение». Вот и все. Ничего сложного.
Ты, конечно, возразишь: «Есть настолько сложные функции, которые словесно задать просто невозможно!» Да, есть и такие, но есть функции, которые описать словесно легче, чем задать формулой.
Например: «каждому натуральному значению икс соответствует разница между цифрами, из которых он состоит, при этом за уменьшаемое берется наибольшее цифра, содержащиеся в записи числа».
Теперь рассмотрим, как наше словесное описание функции реализуется на практике:
Пусть \( \displaystyle x=256\)
Наибольшая цифра в данном числе – \( \displaystyle 6\), соответственно, \( \displaystyle 6\) – уменьшаемое, тогда:
Основные виды функций
Теперь перейдем к самому интересному – рассмотрим основные виды функций, с которыми ты работал/работаешь и будешь работать в курсе школьной и институтской математики, то есть познакомимся с ними, так сказать и дадим им краткую характеристику.
А еще будет полезно узнать про то, как строятся графики функций. Загляни сюда:
Линейная функция
Функция вида \( \displaystyle y=kx+b\), где \( \displaystyle k\), \( \displaystyle b\) – действительные числа.
Графиком данной функции служит прямая, поэтому построение линейной функции сводится к нахождению координат двух точек.
Положение прямой на координатной плоскости зависит от углового коэффициента \( \displaystyle k=tg\alpha \).
Область определения функции (aka область допустимых значений аргумента) – \( \displaystyle D\left( y \right)-\mathbb
Область значений – \( \displaystyle E\left( y \right)-\mathbb
Квадратичная функция
Функция вида \( \displaystyle y=a<
^<2>>+bx+c\), где \( \displaystyle a\ne 0\)
Графиком функции является парабола, при \( \displaystyle a 0\) — вверх.
Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле \( \displaystyle D=<^<2>>-4ac\)
Положение параболы на координатной плоскости относительно значения \( \displaystyle D\) и коэффициента \( \displaystyle a\) показаны на рисунке:
Область определения – \( \displaystyle D\left( y \right)=\mathbb
Область значений \( \displaystyle E\left( y \right)\) зависит от экстремума данной функции (точки вершины параболы) и коэффициента \( \displaystyle a\) (направления ветвей параболы)
Обратная пропорциональность
Функция, задаваемая формулой \( \displaystyle y=\frac
\), где \( \displaystyle k\ne 0\)
Число \( \displaystyle k\) называется коэффициентом обратной пропорциональности.
В зависимости от того, какое значение \( \displaystyle k\), ветви гиперболы находятся в разных квадратах:
Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
Элементарные функции и их графики (ЕГЭ 18. Задача с параметром)
Задачи с параметром из ЕГЭ зачастую предполагают исследование функций или хотя бы знание их свойств.
Чтобы научиться исследовать функции, для начала лучше всего научиться строить их графики.
На этом уроке мы рассмотрим основные элементарные функции, научимся строить их графики и узнаем, как на них влияют разные параметры (коэффициенты в функциях).
Преобразования графиков функций (ЕГЭ 18. Задачи с параметром)
Научились строить график какой-то функции? А что, если я теперь поменяю один из коэффициентов? Или «заключу» часть функции в модуль?
Можно ли не строить для этого новый график, а просто передвинуть/растянуть старый?
Можно! И на этом уроке мы научимся производить такие трансформации.
Благодаря таким трансформациям мы станем понимать, как выглядят графики функций при всех значениях параметра и научимся решать задачи из ЕГЭ на эту тему.