Что такое финансовая математика

Финансовая математика

* классическая финансовая математика или математика кредита (проведение процентных расчётов; вопросы, связанные с различными долговыми инструментами: векселями, депозитными сертификатами, облигациями; анализ потоков платежей, применяемый в банковском деле, кредитовании, инвестировании);

* стохастическая финансовая математика, включающая расчёт безарбитражной (или «справедливой») цены финансовых инструментов;

* проведение актуарных расчётов (составляющих математическую основу страхования);

эконометрические расчёты, связанные с прогнозированием поведения финансовых рынков.Задача классической финансовой математики сводится к сопоставлению денежных потоков от различных финансовых инструментов исходя из критериев временной ценности денег (с учётом фактора дисконтирования), оценка эффективности вложений в те или иные финансовые инструменты (включая оценку эффективности инвестиционных проектов), разработка критериев отбора инструментов. В классической финансовой математике по умолчанию предполагается детерминированность процентных ставок и потоков платежей.

Стохастическая финансовая математика имеет дело с вероятностными платежами и ставками. Основная задача состоит в получении адекватной оценки инструментов с учётом вероятностного характера рыночных условий и потока платежей от инструментов. Формально сюда можно отнести оптимизацию портфеля инструментов в рамках средне-дисперсионного анализа. Также на моделях стохастической финансовой математики основаны методы оценки финансовых рисков. При этом в стохастической финансовой математике возникает необходимость определить критерии оценки рисков в том числе для адекватной оценки финансовых инструментов.

Связанные понятия

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

В экономической науке, теории игр, теории принятия решений теория ожидаемой полезности — альтернатива математическому ожиданию, формула, которая может использоваться рациональным игроком при принятии решений.

Экономическая теория общего равновесия (англ. general equilibrium) описывает поведение спроса, предложения и цен на нескольких взаимосвязанных рынках. В узком смысле под общим равновесием понимается одновременное равновесное состояние всех рынков данной экономики. Тем самым теория общего равновесия противопоставляется теории частичного равновесия, в которой рынки рассматриваются изолированно друг от друга.

Теория комбинаторных схем — это часть комбинаторики (раздела математики), рассматривающая существование, построение и свойства семейств конечных множеств, структура которых удовлетворяет обобщённым концепциям равновесия и/или симметрии. Эти концепции не определены точно, так что объекты широкого диапазона могут пониматься как комбинаторные схемы. Так, в одном случае комбинаторные схемы могут представлять собой пересечения множеств чисел, как в блок-схемах, а в другом случае могут отражать расположение.

Временна́я це́нность де́нег (ВЦД) или стоимость денег во времени (СДВ), стоимость денег с учётом фактора времени (СДУФВ), теория временной стоимости денег, дисконтированная существующая ценность — концепция, на которой основано предположение о том, что деньги должны приносить процент — ценность сегодняшних денег выше, чем ценность той же суммы, получаемой в будущем.

Источник

Основы финансовой математики

Основы финансовой математики

1. Основы финансовых расчетов

Предметом финансовой математики является количественный анализ, осуществляемый при финансовом проектировании и выборе инвестиционных проектов. К основным задачам финансовой математики, в том числе, относятся планирование инвестиционных проектов, расчет конечных результатов финансовых операций, оценка эффективности сделок с финансовыми инструментами.

Под процентом (процентными деньгами) понимается абсолютная величина дохода от различных финансовых операций типа помещения денежных средств на банковский депозит, предоставления кредита, приобретения облигаций и т. п. При заключении финансовой сделки стороны договора согласуют размер процентной ставки, а также период начисления (например, ежемесячно, ежеквартально или один раз в месяц). Кроме того, оговаривается срок сделки.

Исторически сложились два подхода к счету процентных денег: от настоящего к будущему (так называемое наращение) и, наоборот, от будущего к настоящему (так называемое дисконтирование).

Существует большое количество видов процентных ставок и методов начисления процентов. Два наиболее часто применяемых вида начисления процентов – по простой процентной ставке и по сложной процентной ставке. При простой процентной ставке за базу для расчета на всех периодах начисления принимается первоначальная сумма. При сложной процентной ставке за базу для расчета на следующем периоде начисления принимается сумма, полученная на предыдущем периоде начисления.

1.2. Способы и формулы расчета процентных выплат

(простой, сложный, эффективный процент)

К наращению по простым процентам обычно прибегают при краткосрочных депозитах или ссудах (до одного года), или в случаях, когда проценты не присоединяются к первоначальной сумме.

Для расчета наращенной суммы по простым процентам при сроке сделки менее одного года на примере банковского депозита используется следующая формула:

– первоначальная сумма;

– процентная, выраженная в долях единицы в расчете на временную базу начисления процентов (базовый период) ;

– срок вклада менее одного года;

– сумма, полученная в конце вклада (наращенная сумма).

При расчете процентов обычно применяют разные годовые базовые периоды – 365 дней или 360 дней (принимая, что в году 12 месяцев по 30 дней). При этом, упоминая процентную ставку , говорят «» процентов годовых». Необходимо обратить внимание, что в ряде случаев процентная ставка указывается не для годового, а для более короткого периода (полгода, квартал, месяц). В этих случаях рекомендуется перед проведением расчетов привести процентную ставку к годовому базовому периоду.

Банк начислил простой процент на вклад в сумме 1000 руб. по процентной ставке 12% годовых. Срок вклада 90 дней, базовый период 365 дней. Определить, какая сумма будет получена по истечению срока вклада?

Если срок вклада более одного года и составляет целое число лет, то при условии фиксированной процентной ставки формула (1.1) принимает следующий вид:

– срок вклада в годах.

Банк начислил простой процент на вклад в сумме 1000 руб. по процентной ставке 12% годовых. Срок вклада 2 года. Определить, какая сумма будет получена по истечению срока вклада?

В случае если процентная ставка меняется, формула (1.2) модифицируется:

, ,… – процентная ставка в -ом году.

Вкладчик размещает на счете 2000 руб. на три года. Банк начисляет простой процент. Процентная ставка за первый год равна 8%, второй – 9%, третий – 10%. Определить, какая сумма будет получена по счету через 3 года?

Расчет наращенной суммы по заданным процентной ставке, первоначальной сумме и сроке вклада относится к классу прямых задач расчета процентных выплат. Расчет дисконтированной суммы по заданным сумме в конце вклада, процентной ставке и сроке вклада относится к классу обратных задач. Также к обратным задачам можно отнести такие задачи, как определение процентной ставки или срока вклада по первоначальной и наращенной суммам.

Используя формулы (1.2) и (1.3), получим зависимость для расчета дисконтированной суммы (первоначальной суммы вклада) в условиях обратной задачи:

Вкладчик положил в банк некоторую сумму в начале 2005 г. Банк выплачивал простые проценты по следующим процентным ставкам: 2005 г. – 10% годовых; 2006 г. – 11% годовых; 2007 г. – 12% годовых. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета, определите, какую сумму он положил в банк, если на его счете в начале 2008 г. Была 13 300 руб.?

Для обратных задач, в условиях которых требуется определить величину процентной ставки, используется, в том числе, следующая зависимость, вытекающая из выражения (1.2):

Вкладчик положил в банк 20 тыс. руб. в начале 2006 г. Банк начислял простые проценты. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета, определите процентную ставку банка, если в начале 2008 г. на счете вкладчика было 50 тыс. руб.

или 75%.

Таким образом, как показывает сравнение выражений (1.6) и (1.2), при прочих равных условиях банковский депозит, начисляемый по сложным процентам, является более доходным, чем депозит по схеме простых процентов.

Банк начислил сложный процент на вклад в сумме 1000 руб. по процентной ставке 12% годовых. Срок вклада 2 года. Определить, какая сумма будет получена по истечению срока вклада?

Сравнение этого примера с примером при формуле (1.2) демонстрирует преимущество сложных процентов.

В случае меняющейся процентной ставки формула (1.6) модифицируется:

Вкладчик положил в банкруб. Банк выплачивает сложные проценты. Какая сумма будет на счете у вкладчика через два года, если процентная ставка за первый год составляет 20%, а за второй – 30%?

Из выражения (1.6) вытекает решение обратной задачи нахождения дисконтированной суммы по полученной (наращенной) сумме, процентной ставке и сроке вклада:

По окончании второго года на счете инвестора находится суммаруб. Начисление происходило по схеме сложного процента по ставке 13% в конце каждого года. Рассчитайте первоначальную сумму вклада.

Выражения и называют соответственно коэффициентом наращения и коэффициентом дисконтирования при начислении сложных процентов.

Для обратных задач, когда требуется определить величину процентной ставки при начислении сложных процентов, используют, в том числе, следующую зависимость, вытекающую из выражения (1.8):

Для задач, в которых требуется определить срок вклада, рекомендуется в общем случае использовать метод подбора.

Банк выплачивает сложные проценты. Вкладчик разместил в банке 10 000 рублей. Какую процентную ставку должен обеспечить банк для того, чтобы через два года сумма вклада составиларуб.?

или

– число периодов начисления в году.

Вкладчик размещает в банке 2000 руб. под 8% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете ежеквартально. Какая сумма получится на счете через 3 года?

Банк начислил сложный процент на вклад в сумме 1000 руб. по процентной ставке 12% годовых. Срок вклада 2 года. Капитализация процентов осуществляется один раз в полгода. Определить, какая сумма будет получена по истечению срока вклада?

Сравнение последнего примера с примером при формуле (1.6) показывает, что чем чаще начисляются проценты, тем при прочих равных условиях выгоднее депозит.

В целом ряде случаев возникает необходимость сравнения доходности финансовых инструментов, использующих различные схемы и периоды начисления. Для такого сравнения используют, в том числе, эффективную ставку процента. Под эффективным процентом понимается процент, который получается по итогам года при начислении процента в рамках года. Иными словами, это ставка процента, которая дает такой же результат, как и ставка сложного процента с начислением раз в течение года.

(1.11)

Приравнивая, получим связь между эффективной и номинальной процентными ставками:

Банк начисляет процент на вклад в сумме 1000 руб. по процентной ставке 10% годовых. Проценты капитализируются ежеквартально. Определить величину эффективного процента.

Если известен эффективный процент, то по формуле 1.13, которая вытекает из формулы 1.11, можно определить эквивалентный ему простой процент в расчете на год:

Эффективный процент равен 8,16% годовых. Определить эквивалентный ему простой процент в расчете на год, если начисление процентов осуществляется каждые полгода.

, или

1.3. Определение стоимости и доходности облигаций. Стоимость бескупонных и купонных облигаций. Текущая доходность облигации, доходности облигации к погашению

Облигация – срочная долговая ценная бумага, удостоверяющая отношения займа между ее владельцем и эмитентом. Известно достаточно много типов облигаций, в том числе купонные и бескупонные. Доход инвестора по бескупонной облигации – разность между ее номинальной стоимостью и ценой приобретения. Для купонных облигаций возникает также дополнительный доход от выплат по купонам. Традиционно облигации котируют в процентах от номинальной стоимости.

Определение цены облигации основано на дисконтировании денежных потоков, связанных с выплатой купонных доходов и номинальной стоимости облигации.

Для бескупонной облигации, поскольку доход по облигации выплачивается один раз при погашении, цена может быть определена по следующей формуле:

– номинальная стоимость облигации;

– доходность облигации к погашению (доходность облигации до погашения) – доходность инвестора в расчете на год, если инвестор, купив облигацию, продержит ее до погашения;

– число лет до погашения.

Номинал бескупонной облигации равен 1 000 руб., бумага погашается через 7 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8% годовых.

руб.

Вместе с тем, необходимо иметь в виду, что рыночная цена облигации не обязательно будет совпадать с результатами расчета. Это связано с тем, что разные инвесторы могут использовать различные ставки дисконтирования; на цену также значимо влияют соотношение спроса и предложения на облигацию, информация об эмитенте, его кредитный рейтинг, другие рыночные факторы.

Из выражения (1.14) следует фундаментальное свойство ценообразования облигаций – курсовая стоимость облигации и доходность связаны обратно пропорциональной зависимостью – при повышении доходности облигации к погашению ее цена падает, и наоборот.

Для купонных облигаций поток платежей включает купонные выплаты, а также выплату номинальной стоимости облигации при ее погашении. Поэтому при условии выплаты купона один раз в год цена облигации определяется суммой дисконтированных потоков:

где – купонный доход по облигации.

Следует обратить внимание, что обычно размер купонного дохода задается в виде процента от номинальной стоимости облигации.

Номинал облигации 1 000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 12%.

Важным элементом анализа облигаций является определение доходности.

Текущая доходность купонной облигации определяется в расчете на один календарный год, для сравнения с альтернативными инвестициями на этот период. Текущая доходность представляет собой отношение величины ожидаемого (или последнего) годового дохода к текущей рыночной цене.

Номинал облигации равен 100 руб., купонная ставка 10 %, текущая цена 80 руб. Чему равна текущая доходность?

Для инвестора, который приобрел облигацию по цене и продержал ее до погашения, важно знать какую доходность обеспечила его инвестиция. В общем случае, для решения этой задачи необходимо определить значение из уравнения типа (1.15), что без использования финансового калькулятора и специальных программ представляется затруднительным. Тем не менее, для частных случаев можно использовать упрощенные зависимости. В предположении, что весь купонный доход выплачивается при погашении, при этом купонный доход не реинвестируется, рассчитывают простую (или валовую) доходность к погашению:

Облигация сроком обращения 2 года погашается по номиналу. По облигации выплачивается ежегодный купонный доход в размере 5% от номинала. Рыночная цена облигации составляет 91,3% от номинала. Рассчитайте простую доходность облигации к погашению.

Если облигация является бескупонной, то из выражения (1.14) следует, что доходность до погашения определяется выражением (1.9), где , а – цена покупки облигации.

1.4. Показатель дохода на одну акцию, коэффициент

Акция – долевая ценная бумага, предоставляющая ее владельцу, в том числе, право на получение дивидендов и участие в управлении обществом.

Для оценки и анализа инвестиций в акции используется достаточно большое количество различных показателей, среди которых наиболее распространены дивидендная доходность, показатель дохода на одну акцию, отношение цены акции к доходу.

Дивидендная (текущая) доходность акции определяется для сравнения с альтернативными инвестициями на данный период и рассчитывается как отношение годового дивиденда к текущей рыночной цене:

–размер годового дивиденда;

Акция имеет рыночную стоимость 1800 руб. За последний год ежеквартальные дивиденды выплачивались в сумме 45 руб. Рассчитайте ставку дивиденда по акции в расчете на год.

Показатель дохода на акцию – , является важнейшим показателем фундаментального анализа акций. В частности исходя из этого показателя определяют справедливую стоимость акций компании. Значение показателя EPS определяется следующим выражением:

— чистая прибыль;

– дивиденды по привилегированным акциям;

– количество обыкновенных акций в обращении.

Валовая прибыль компании составила 1,5 млн. руб. Уставный капитал компании состоит изобыкновенных акций и 2000 привилегированных акций номинальной стоимостью 1000 руб. Дивидендная ставка по привилегированным акциям – 20 %. Рассчитайте величину дохода на одну акцию, если ставка налогообложения равна 24 %.

Коэффициент Р/Е, рассчитываемый как отношение рыночной цены к доходу на одну акцию, указывает какова цена каждого рубля из дохода предприятия. Коэффициент Р/Е показывает количество лет при текущем уровне прибыли, которое потребуется компании, чтобы окупить цену своих акций.

Обыкновенная акция имеет рыночную стоимость 150 руб. Доход на акцию по итогам года составил 14 руб. Определите значение коэффициента Р/Е.

Периодическое помещение на счет одинаковой суммы. Будущая стоимость аннуитета, приведенная стоимость аннуитета. Расчет стоимости разового платежа, погашение кредита равными выплатами

Регулярный поток постоянных платежей называется финансовой рентой или аннуитетом. Аннуитеты – достаточно распространенный финансовый инструмент, часто используемый, например, в пенсионных схемах.

Будущая стоимость аннуитета при ежегодном платеже может быть определена по формуле

. Вместе с тем, для длительных сроков аннуитета расчеты по этой формуле могут оказаться весьма трудоемкими. Более удобным для расчетов представляется эквивалентное выражение следующего вида:

Инвестор в течение трех лет в конце каждого года размещает 1000 руб. под 10% годовых. Определить будущую стоимость аннуитета.

Вариант 1: F = 1000 * (1+0,1)2 + 1000 * (1+0,1)1 + 1000 = 3310 руб.,

Вариант 2: F = 1000 / 0,1* <(1+0,1)3 – 1>= 3310 руб.

В этом примере расчет будущей стоимости аннуитета осуществлен двумя способами. Результаты расчета одинаковы.

Если условиями аннуитета предусмотрено осуществление нескольких (m) платежей в год, то выражение (1.21) принимает следующий вид:

Необходимо отметить, что в выражении (1.22) C – годовая сумма платежей, а разовые платежи осуществляются равными долями с равной периодичностью.

Инвестору выплачивается пятилетний аннуитет. В расчете на год платеж составляет 1000 руб., однако платежи осуществляются через каждые полгода. Инвестор размещает получаемые суммы под 8% годовых до истечения аннуитета. Определить будущую стоимость аннуитета.

Приведенная стоимость аннуитета представляет собой будущую стоимость аннуитета, дисконтированную к начальному моменту времени. Расчет приведенной стоимости аннуитета проводится в задачах, когда нужно, например, определить какую сумму следует положить на депозит, чтобы в дальнейшем регулярно снимать одинаковые суммы. Для случая одного ежегодного платежа приведенная стоимость аннуитета определяется по формуле:

Если в течение года предусмотрено несколько (m) платежей в год, то выражение (1.23) усложняется:

1. В течение восьми лет в конце каждого года необходимо выплачивать 20 тыс. руб. Для решения этой задачи в банке открывается восьмилетний депозит, по которому ежегодно начисляется 9%, средства со счета можно снимать в конце года. Какую сумму следует разместить на депозите, чтобы осуществлять необходимые платежи и, чтобы после последнего платежа на депозите больше не осталось денег?

2.Ежегодный платеж по пятилетнему аннуитету составляет 1000 руб. и инвестируется под 10% годовых, капитализация процентов осуществляется через каждые полгода. Определить приведенную стоимость аннуитета.

Одним из вариантов аннуитета является так называемая вечная рента, когда платежи осуществляются без ограничения срока, т. е. n→∞. В этом случае будущую стоимость аннуитета определить нельзя, а приведенная стоимость вытекает из выражения (1.23):

Определить приведенную стоимость бессрочного аннуитета, по которому в конце каждого года выплачивается 1 000 руб., если процентная ставка равна 8%.

Расчет размера аннуитетного платежа может быть осуществлен как на основе будущей стоимости аннуитета (F), так и на основе приведенной стоимости аннуитета (P) в зависимости от условий задачи:

Выражения (1.26) и (1.27) имеют многочисленные применения в задачах определения размера платежа для достижения в заданный срок необходимой суммы, величины периодического платежа по кредиту и т. п. Они записаны в общем виде (m > 1), в случае, если платеж осуществляется один раз в год, то эти выражения легко упрощаются.

1. Заемщик берет кредит на десять лет в размере 5 млн. руб. под 15% годовых с условием погашения его равными суммами в конце каждого года. Проценты начисляются в конце каждого года на оставшуюся часть долга. Определить величину ежегодной выплаты по кредиту.

2. Заемщик берет кредит на два года в размере 1 млн. руб. под 12% годовых с условием погашения его равными суммами ежеквартально. Проценты начисляются в конце каждого года на оставшуюся часть долга. Определить величину ежеквартального платежа по кредиту.

Источник