что такое апофема правильной треугольной пирамиды

Пирамида

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Виды пирамид

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Источник

Апофема пирамиды. Формулы для апофемы правильной треугольной пирамиды

Фигура пирамида

Прежде чем приводить определение апофемы пирамиды, познакомимся с самой фигурой. Пирамида представляет собой многогранник, который образован одним n-угольным основанием и n треугольниками, составляющими боковую поверхность фигуры.

Вам будет интересно: Двугранные углы пирамиды и методика их расчета

Апофема правильной пирамиды

Ее также называют апотемой. Под ней понимают перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к стороне основания фигуры. По своему определению этот перпендикуляр соответствует высоте треугольника, который образует боковую грань пирамиды.

Поскольку мы рассматриваем пирамиду правильную с n-угольным основанием, то все n апофем для нее будут одинаковыми, поскольку таковыми являются равнобедренные треугольники боковой поверхности фигуры. Заметим, что одинаковые апофемы являются свойством правильной пирамиды. Для фигуры общего типа (наклонной с неправильным n-угольником) все n апофем будут разными.

Еще одним свойством апофемы пирамиды правильной является то, что она одновременно является высотой, медианой и биссектрисой соответствующего треугольника. Это означает, что она делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Треугольная пирамида и формулы для определения ее апофемы

В любой правильной пирамиде важными линейными характеристиками являются длина стороны ее основания, ребро боковое b, высота h и апофема hb. Эти величины друг с другом связаны соответствующими формулами, которые можно получить, если начертить пирамиду и рассмотреть необходимые прямоугольные треугольники.

Правильная треугольная пирамида состоит из 4 треугольных граней, причем одна из них (основание) должна быть обязательно равносторонней. Остальные являются равнобедренными в общем случае. Апофему треугольной пирамиды можно определить через другие величины по следующим формулам:

Первое из этих выражений справедливо для пирамиды с любым правильным основанием. Второе выражение характерно исключительно для треугольной пирамиды. Оно показывает, что апофема всегда больше высоты фигуры.

Не следует путать апофему пирамиды с таковой для многогранника. В последнем случае апофемой называется перпендикулярный отрезок, проведенный к стороне многогранника из его центра. Например, апофема равностороннего треугольника равна √3/6*a.

Задача на вычисление апофемы

Пусть дана правильная пирамида с треугольником в основании. Необходимо вычислить ее апофему, если известно, что площадь этого треугольника равна 34 см2, а сама пирамида состоит из 4 одинаковых граней.

В соответствии с условием задачи мы имеем дело с тетраэдром, состоящим из равносторонних треугольников. Формула для площади одной грани имеет вид:

Откуда получаем длину стороны a:

Для определения апофемы hb воспользуемся формулой, содержащей боковое ребро b. В рассматриваемом случае его длина равна длине основания, имеем:

Подставляя значение a через S, получим конечную формулу:

Мы получили простую формулу, в которой апофема пирамиды зависит только от площади ее основания. Если подставить значение S из условия задачи, то получим ответ: hb ≈ 7,674 см.

Источник

Апофема правильной треугольной пирамиды: формула и пример задачи

При изучении характеристик пространственных фигур в курсе стереометрии большое внимание уделяется таким свойствам, как площадь и объем. В то же время знать линейные параметры фигур важно, чтобы иметь возможность рассчитать указанные свойства. В данной статье ответим на вопрос, как найти апофему пирамиды правильной треугольной.

Какая фигура будет рассмотрена?

Треугольная пирамида с правильным основанием представляет собой фигуру в пространстве, которая ограничена одним равносторонним треугольником (основание) и тремя равнобедренными треугольниками (боковые стороны). Чтобы иметь возможность более четко представить эту пирамиду, покажем ее на рисунке.

Важной точкой любой пирамиды является ее вершина, которая не принадлежит основанию. Если опустить перпендикуляр из нее на основание, то его длина будет высотой фигуры. В дальнейшем будем обозначать высоту буквой h. Высота правильной пирамиды падает точно в геометрический центр треугольника (точка пересечения его медиан, а также биссектрис и высот). Вторым линейным параметром, который следует знать, является длина стороны основания треугольной пирамиды, то есть длина стороны равностороннего треугольника. Обозначим ее буквой a.

Формула апофемы пирамиды правильной треугольной

Перейдем непосредственно к вопросу статьи. Для треугольной пирамиды правильной апофемой называется любая из высот боковых треугольников, опущенная из вершины фигуры. Обозначим ее hb. Поскольку рассматриваемая фигура состоит из трех боковых треугольников, которые равны друг другу, то она имеет три одинаковых апофемы hb.

Определение длины апофемы не составляет большого труда. Предположим, что высота h и длина стороны a известны. Проводим высоту фигуры и рассматриваем треугольник прямоугольный, который находится внутри пирамиды и образован следующими сторонами:

Длина медианы m треугольника в основании равна:

Пользуясь теоремой Пифагора, получаем формулу для длины апофемы hb:

Эта формула показывает, что длина апофемы hb для любых параметров треугольной пирамиды всегда больше ее высоты h.

Решение задачи на определение значения hb

Решим интересную задачу. Рассчитаем длину апофемы для тетраэдра, у которого все ребра равны друг другу.

Обозначим длину ребра буквой a. Она же является стороной треугольника в основании. Чтобы определить hb, необходимо найти h. Сделать это не сложно, если рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой h, ребром a и двумя третями медианы m. Получаем:

Теперь применяем формулу для апофемы, получаем:

hb = √(a2/12 + h2) = √(a2/12 + 2/3*a2) = √3/2*a

Мы получили очевидный результат. Апофема правильной пирамиды треугольной равна длине медианы любого из равносторонних треугольников.

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Пирамида – многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников

Основание пирамиды – грань пирамиды, являющаяся n-угольником

Вершина пирамиды – общая точка всех треугольников, лежащих в боковых гранях.

Боковая грань – грань пирамиды, являющаяся треугольником

Боковые ребра – общие отрезки боковых граней

Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды

Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину и центр основания пирамиды, является высотой

Усеченная пирамида – многогранник, образованный двумя n-угольниками, расположенными в параллельных плоскостях (нижнее и верхнее основание) и n-четырехугольников (боковые грани).

Площадь полной поверхности пирамиды – сумма площадей всех граней пирамиды

Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей боковых граней пирамиды

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. и профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений.. – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (117 с. – 121 с.)

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с. (65 с. – 68 с.)

Открытые электронные ресурсы:

Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги https://www.mnogogranniki.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим многоугольник A₁A₂. A_n и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника (рис.1). Соединив точку Р с вершинами многоугольника, получим n треугольников: PA₁A₂, PA₂A₃,…, PA_nA₁.

Многогранник, составленный из n-угольника A₁A₂. A_n и n треугольников, называется пирамидой. Многоугольник A₁A₂. A_n называется основанием, а треугольники PA₁A₂, PA₂A₃,…, PA_nA₁ – боковые грани пирамиды, отрезки PA₁, PA₂,…, PA_n – боковые ребра пирамиды, точка Р – вершина пирамиды. Пирамиду с основанием A₁A₂. A_n и вершиной Р называют n-угольной пирамидой и обозначают PA₁A₂. A_n.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 1 PH является высотой. Обратите внимание, что высота может лежать и вне пирамиды (рис. 3) или быть одним из боковых ребер (рис. 4).

Рисунок 3 – высота вне пирамиды

Будем называть пирамиду правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Напомним, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности (рис.5).

Рисунок 5 – Правильная пирамида

Правильная пирамида обладает несколькими хорошими свойствами. Давайте выясним, какими.

Рассмотрим правильную пирамиду PA₁A₂. A_n (рис. 5).

Пусть О – центр описанной около основания окружности, тогда РО – высота пирамиды, значит РО перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости основания. Таким образом, высота РО перпендикулярна радиусам А₁О, А₂О. А_nО.

Боковые ребра пирамиды равны, значит боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников равны друг другу, так как в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

Таким образом, верны следующие утверждения:

Введем еще одно определение. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На рисунке 5 PE – одна из апофем.

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу как высоты в равных треугольниках.

Возьмем произвольную пирамиду PA₁A₂. A_n и проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды α и пересекающую боковые ребра в точках В₁,В₂. В_n (рис. 6). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A₁A₂. A_n и В₁В₂. В_n (нижнее и верхнее основания соответственно), расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂, … A₁A_nB_nB₁ (боковые грани), называется усеченной пирамидой.

Рисунок 6 – Усеченная пирамида

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 7 отрезки HH₁ и В1O –высоты усеченной пирамиды.

Рисунок 7 – Высота усеченной пирамиды

Площадь поверхности пирамиды

Площадью полной поверхности пирамиды называются сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

Для пирамиды, верно равенство S_полн= S_бок+S_осн.

Докажем теорему для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Для площади боковой поверхности усеченной пирамиды верна следующая теорема

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание 1. В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?

Поскольку в пирамиде все боковые грани равны, то и площади их будут равны. Знаем, что площадь боковой грани на 15 меньше площади основания, значит она равна 27. В пятиугольной пирамиде боковых граней 5. Таким образом площадь полной поверхности равна 27*5+42 = 177.

Задание 2. В правильной пирамиде высота боковой грани равна 10, а в основании лежит квадрат со стороной 4. Чему равна площадь боковой поверхности?

Боковая грань пирамиды – это треугольник. Все боковые грани этой пирамиды равны между собой, так как пирамида правильная. Вычислим площадь треугольника: ½*4*10=20. В основании пирамиды лежит квадрат, значит боковых граней будет 4. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4* 20=80.

Источник

Апофема делит сторону основания пополам. Все ли вы знаете о правильной пирамиде?

Для решения задач на обширную тему «Стереометрия» нужно выучить и разобрать очень много элементов и тонкостей, полностью изучить все свойства фигур, а также не забывать свойства всех фигур, которые включены в курс «Планиметрии».

Среди задач по объемным фигурам очень часто встречается правильная пирамида, чтобы легко решать их, нужно хорошо с ней познакомиться. Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а ее вершина спроецирована в центр основания. Как раз при изучении этого многоугольника вы услышите об апофеме.

Определение

Какова роль апофемы

Не путайте с H (высота объемной фигуры в стереометрии).

Также, благодаря знанию апофемы, можно найти площадь грани как равнобедренного треугольника.

Свойства апофемы

Их мало, но все же их нужно помнить. В целом это следствия, вытекающие из определения. Итак, апофема в правильной пирамиде:

В правильной пирамиде все апофемы равны, так как все ее боковые грани также одинаковые. При нахождении длины апофемы вам придется воспользоваться как свойствами многоугольника, так и свойствами многогранника. Как же найти числовое значение апофемы в правильной пирамиде?

Как найти апофему пирамиды

Ее можно найти, применяя все ранее полученные знания, вот всего лишь несколько примеров:

В любом случае при нахождении апофемы вам придется вспоминать все основные законы и правила планиметрии. Если неизвестны какие-то элементы из этого списка, то вы можете оперировать данными параметрами, и, постепенно находя вышеописанные данные, найти апофему вам не составит труда. Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении такой интересной темы.

Источник