что такое абсолютная величина числа
Модуль числа — теория и решение задач
Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности 🙂
А между тем она проста как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен.
Ситуация первая
В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.
Например, мы не можем проехать на машине «минус 70 километров» (мы проедем 70 километров, не важно, в каком направлении), как и не можем купить «минус 5 кг апельсинов». Эти значения всегда должны быть положительными.
Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.
Ситуация вторая
Ты покупаешь пакет чипсов «Lay’s». На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но, если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.
И что, можно идти судиться с компанией «Lay’s», если они тебе недовесили?
Нет. Потому что «Lay’s» устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это «плюс-минус» – это и есть модуль.
Ситуация третья
В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: «Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!» 20 тысяч – это и есть модуль.
А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от точки отсчета в любую сторону.
Ну вот, ты уже почти все знаешь. Давай теперь подробнее…
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА
Об обобщении понятия А. в. на случай произвольного тела см. статью Абсолютное значение.
Смотреть что такое «АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА» в других словарях:
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — величина, рассматриваемая сама по себе, без сравнения с другими. Так, вес данного тела, напр. куска меди, равный положим 3 фунт., есть его абсолютный в., тогда как вес тела сравнительно с весом такого же объема воды относительный или удельный в.… … Словарь иностранных слов русского языка
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — (модуль) действительного числа a неотрицательное число (обозначается … Большой Энциклопедический словарь
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — англ. value of a number, absolute (modul); нем. Grosse der Zahl Absolute. А. в. положительного числа есть само это число; А. в. отрицательного числа есть противоположное ему положительное число; А. в. нуля равна нулю. А. в. числа а обознач./а/.… … Энциклопедия социологии
абсолютная величина — (модуль) действительного числа а, неотрицательное число (обозначается |а|), определяемое так: если а≥0, то |а| = а, если а … Энциклопедический словарь
Абсолютная величина — График вещественной функции … Википедия
абсолютная величина — absoliutusis dydis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. absolute magnitude; absolute quantity vok. absolute Größe, f rus. абсолютная величина, f pranc. grandeur absolue, f … Automatikos terminų žodynas
абсолютная величина — absoliutusis dydis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydis, gaunamas statistiniu stebėjimu. atitikmenys: angl. absolute values vok. absolute Größe, f rus. абсолютная величина, f pranc. grandeur absolue, f … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
Абсолютная величина — действительного числа равна этому числу, если оно положительно, равна противоположному числу, если оно отрицательно, и равна нулю, если число равно нулю. А. в. числа а обозначается | a |. Например, | +5 | = | 5 | = 5; | 0 |= 0. А. в. (или … Большая советская энциклопедия
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — (модуль) действительного числа а неотрицат. число (обозначается |а|), определяемое так: если а >= 0, то |а|=а, если а Большой энциклопедический политехнический словарь
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — (модуль) действительного числа а, неотрицательное число (обозначается |а.|), определяемое так: если а>0, то |а| =а, если a Естествознание. Энциклопедический словарь
СОДЕРЖАНИЕ
Терминология и обозначения
Определение и свойства
Вещественные числа
Поскольку символ квадратного корня представляет собой уникальный положительный квадратный корень (в применении к положительному числу), отсюда следует, что
| Икс | знак равно Икс 2 <\ Displaystyle | х | = <\ sqrt <х ^ <2>>>> 
эквивалентно определению, приведенному выше, и может использоваться как альтернативное определение абсолютного значения действительных чисел.
Ниже приведены некоторые дополнительные полезные свойства. Это либо непосредственные следствия определения, либо подразумеваются четырьмя фундаментальными свойствами, указанными выше.
Два других полезных свойства, касающихся неравенств:
Эти отношения могут использоваться для решения неравенств, касающихся абсолютных значений. Например:
Абсолютное значение, как «расстояние от нуля», используется для определения абсолютной разницы между произвольными действительными числами, стандартной метрики действительных чисел.
Комплексные числа
где х и у являются действительными числами, то абсолютное значение или модуль из г обозначается | z | и определяется
Когда комплексное число z выражается в полярной форме как
Комплексное абсолютное значение разделяет четыре основных свойства, приведенных выше для реального абсолютного значения.
Важно отметить, что свойство субаддитивности (« неравенство треугольника ») распространяется на любой конечный набор из n комплексных чисел как ( z k ) k знак равно 1 п <\ textstyle (z_
Доказательство комплексного неравенства треугольника
Функция абсолютного значения
Связь со знаковой функцией
Функция абсолютного значения действительного числа возвращает его значение независимо от его знака, тогда как функция знака (или знака) возвращает знак числа независимо от его значения. Следующие уравнения показывают взаимосвязь между этими двумя функциями:
Производная
Реальная функция абсолютного значения является примером непрерывной функции, которая достигает глобального минимума там, где производная не существует.
Первообразный
Первообразной (неопределенного интеграла) вещественной функции абсолютного значения
Расстояние
Стандартное евклидово расстояние между двумя точками
Это можно рассматривать как обобщение, поскольку для и реального, то есть в 1-пространстве, согласно альтернативному определению абсолютного значения, а 1 <\ displaystyle a_ <1>> б 1 <\ displaystyle b_ <1>>
Выше показано, что расстояние «абсолютное значение» для действительных и комплексных чисел согласуется со стандартным евклидовым расстоянием, которое они наследуют в результате рассмотрения их как одномерного и двумерного евклидова пространства соответственно.
Свойства абсолютного значения разности двух действительных или комплексных чисел: неотрицательность, тождество неразличимых, симметрия и неравенство треугольника, данные выше, можно рассматривать как мотивирующие более общее понятие функции расстояния следующим образом:
Обобщения
Заказанные кольца
Четыре основных свойства абсолютного значения для действительных чисел могут использоваться для обобщения понятия абсолютного значения на произвольное поле следующим образом.
Векторные пространства
Опять же, фундаментальные свойства абсолютного значения для действительных чисел могут быть использованы, с небольшими изменениями, для обобщения этого понятия на произвольное векторное пространство.
Композиционные алгебры
Нельзя так просто взять и вычислить абсолютное значение
Кажется, задача вычисления абсолютного значения (или модуля) числа совершенно тривиальна. Если число отрицательно, давайте сменим знак. Иначе оставим как есть. На Java это будет выглядеть примерно так:
Вроде бы это слишком просто даже для вопроса на собеседовании на позицию джуна. Есть ли тут подводные камни?
Этот метод JIT-компилятор в идеале может вообще удалить полностью, потому что речь идёт просто про реинтерпретацию набора бит в процессоре, чтобы типы данных сошлись. А сами биты остаются одни и те же и процессору обычно наплевать на типы данных. Хотя говорят, что всё-таки это может привести к пересылке из регистра с плавающей точкой в регистр общего назначения. Но всё равно очень быстро.
Ладно, у нас осталось два ветвления для всех положительных чисел и нулей. Всё равно кажется, что много. Мы знаем, что ветвления — это плохо, если branch predictor не угадает, они могут очень дорого стоить. Можно ли сделать меньше? Оказывается, можно любой нуль превратить в положительный, если вычесть его из 0.0 :
Таким образом, можно написать:
Отлично, у нас теперь всегда одна ветка. Победа? Но как насчёт сделать всегда ноль веток? Возможно ли это?
Этот способ действительно не содержит ветвлений, и профилирование показывает, что пропускная способность метода при определённых условиях увеличивается процентов на 10%. Предыдущая реализация с одним ветвлением была в стандартной библиотеке Java с незапамятных времён, а вот в грядущей Java 18 уже закоммитили улучшенную версию.
В ряде случаев, впрочем, эти улучшения ничего не значат, потому что JIT-компилятор может использовать соответствующую ассемблерную инструкцию при её наличии и полностью проигнорировать Java-код. Например, на платформе ARM используется инструкция VABS. Так что пользы тут мало. Но всё равно интересная статья получилась!
Урок 29 Бесплатно Модуль числа
Обратите внимание на картинку.
Для того чтобы узнать тему нашего урока, попробуйте отгадать ребус.
На этом уроке разберемся, что называют модулем числа, раскроем его геометрический смысл, рассмотрим основные свойства модуля, научимся находить модуль числа и применять эти знания при решении задач.
Модуль числа (абсолютная величина)
В переводе с латинского «модуль» (modulus) означает мера, размер.
Считается, что данный термин впервые ввел в пользование английский философ и математик Роджер Котс, друг и ученик Исаака Ньютона.
Многие ученые использовали в своих научных трудах понятие модуль, однако символьное обозначение он приобрел только в конце XIX века.
В 1841 году выдающийся немецкий ученый Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс ввел символьное обозначение модуля числа, которое используют и применяют по сегодняшний день.
В некоторых случаях вместо «модуль числа» говорят: «абсолютная величина», но надо понимать, что это тождественно равные понятия.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Понятие «модуль» используется во многих областях деятельности человека.
Можно сказать, что квартира- это модуль дома, а бетонный блок- модуль здания.
Применение модуля придает строениям, сооружениям и их отдельным частям соизмеримость, единообразную форму, координацию размеров частей здания и комплекса в целом; облегчает установление норм и правил по строительству.
В космонавтике модуль- это автономная управляемая часть космического корабля (например, стыковочный модуль, орбитальный модуль и т.п.).
В радиоэлектронике модуль- это автоматизированный блок, функционально законченный узел радиоэлектронной аппаратуры.
В точных науках и технике модуль служит для названия некоторых коэффициентов и величин (например, модуль упругости, модуль сдвига, модуль сопротивления и другое).
В издательском деле модуль- это шаг сетки, основа расположения полос и разворотов в модульной системе верстки.
В судостроении все более широкое применение находит модульное строение судов и плавучих сооружений.
Блоки секций или блоки судна- типовые повторяющие блоки, так называемые модули, составляют корпус судна.
В программировании модули- это законченные самостоятельные фрагменты программы. Разделение программы на небольшие части- модули, позволяют облегчить программу, так как модуль можно применять повторно, его легче отладить и написать, повышает качество программного кода.
В общем говоря, под модулем часто понимают и представляют исходную единицу измерения, составную часть, служащую мерилом, или самостоятельную часть некоторой системы, часть конструкции
В математике модуль имеет несколько значений. Разберем, что в математике называют модулем числа (абсолютной величиной).
Рассмотрим понятие модуль с геометрической точки зрения.
Вам уже известно, что на координатной прямой мы отмечаем действительные числа, а каждому действительному числу на этой прямой соответствует определенная точка и наоборот, каждой точке на координатной прямой соответствует действительное число.
Точка задается некоторым расстоянием от начала координат.
Длина отрезка от начала координат до точки вмещает в себя определенное количество единичных отрезков координатной прямой.
Длина такого отрезка всегда неотрицательная величина.
Два мяча катнули по одной прямой. Первый мяч откатился вправо от исходной точки на 4 м, второй мяч влево от исходной точки на 6 м.
Изобразим координатную прямую и отметим на ней координаты точек остановки этих двух мячей.
Точка О— это исходная точка мячей- точка начала отсчета.
Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1 метр.
Вправо откладываем координату первого мяча А (+4)
Влево откладываем координату второго мяча В (-6)
Расстояние от точки А до начала отсчета 4 единичных отрезка.
Длина ОА = 4 единичных отрезка.
Расстояние от точки В до начала отсчета 6 единичных отрезков.
Длина ОВ = 6 единичных отрезков.
Расстояние ОА и ОВ называют абсолютной величиной, модулем числа, они всегда положительны.
Таким образом, модулем числа называют расстояние на координатной прямой от начала отсчета до заданной точки (выраженной в единичных отрезках).
Обозначается модуль двумя вертикальными чертами слева и справа от числа | |.
Запись |A| читается как «Модуль А» или «Модуль числа А».
Пример 1
|7|— модуль числа 7
Изобразим координатную прямую, отметим на ней точку с координатой 7
Значит, модуль числа 7 равен самому числу 7
|7| = 7
Пример 2
Изобразим координатную прямую, отметим на ней точку с координатой (-5).
Зная определение модуля числа, мы можем утверждать, что от точки с координатой (-5) до точки начала отсчета О помещается 5 единичных отрезков.
Значит, модуль числа (-5) равен 5
|-5| = 5
Пример 3
|-1|— модуль числа (-1)
В расстояние от точки с координатой (-1) до точки начала отсчета помещается только один единичный отрезок этой прямой, поэтому модуль (-1) равен 1.
|-1| = 1
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Свойства модуля (абсолютной величины)
Рассмотрим некоторые свойства модуля числа.
1. Модуль нуля равен нулю
Так как от нуля до начала отсчета нет никакого расстояния (0 единичных отрезков), модуль нуля и есть нуль.
|0| = 0
2. Модуль числа всегда число неотрицательное (т.е. положительное или нуль)
Мяч катнули вдоль прямой на расстояние, равное 3 м вправо, мяч ударился о стену и покатился вдоль прямой в обратном направлении на 3 м и остановился.
Изобразим на координатной прямой координаты точек в момент каждой остановки мяча.
Точка О на координатной прямой- это точка откуда катнули мяч- точка начала отсчета.
Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1метр.
Можно ли утверждать, что мяч не преодолевал никакого расстояния, оставаясь в исходной точке в состоянии покоя, ведь в конечном счете мяч оказался в точке 0 м (от точки ноль до начала отсчета О не помещается ни одного единичного отрезка)? Конечно же, нет!
Путь мяча был бы равен нулю, если бы его вообще никуда не пинали, и он оставался в состоянии покоя в точке О.
Но мы должны понимать, что путь (расстояние), которое преодолел мяч, состоит из 3 единичных отрезков в правую сторону и 3 единичных отрезков в левую сторону; сложив все единичные отрезки, получим:
3 единичных отрезка + 3 единичных отрезка = 6 единичных отрезков
6 единичных отрезков = 6 м
Для определения пути мы складывали только числовое значение без учета направления. Это числовое значение и есть модуль числа.
Таким образом, можно сказать, что любое число состоит из знака и абсолютного значения (модуля).
Поэтому, чтобы найти модуль числа, нужно записать это число без учета знака.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
В математике для лучшего восприятия темы «Модуль числа» придумали шуточную ассоциацию.
Заходя в баню (оказываясь под знаком модуль), отрицательное число моется, освобождается от знака. Из бани (из под знака модуль) число выходит «чистым»- без знака «минус».
В такой бане могут «мыться» положительные, отрицательные числа и ноль.
3. Модули противоположных чисел равны
Рассмотрим на примере данное утверждение:
Пусть модуль х равен 4, получим равенство |x| = 4
Отметим на координатной прямой точки, которые удовлетворяют этому равенству:
Модул ь- это расстояние от начала отсчета до точки в единичных отрезках, равное в данном случае четырем.
Откладываем 4 единичных отрезка вправо, получаем точку с координатой 4
Но такое же количество единичных отрезков можно отложить влево, тогда получим точку с координатой (-4)
Получим на координатной прямой две точки, которые удовлетворяют условию |x| = 4
В данном примере значение х может быть равным:
х = 4
На координатной прямой противоположные числа, хоть и по разные стороны от точки начала отсчета, но находятся на равных расстояниях от этой точки, т.е. по модулю равны.
4. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел
В буквенном выражении это можно записать так:
5. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа
6. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей
\(\mathbf<\Bigl| \frac
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Решение задач с применением модуля числа
Рассмотрим несколько примеров таких задач.
Задача 1
Запишите все числа, имеющие модуль 142.
Решение:
Представим координатную прямую с началом отсчета в точке О
142 единичных отрезка мы можем отложить на координатной прямой вправо и получим точку с координатой 142.
Также 142 единичных отрезка мы можем отложить влево от нуля, в этом случае получаем точку с координатой 142.
На координатной прямой находятся два числа, которые имеют модуль 142, а расстояние до этих точек содержат по 142 единичных отрезка.
|142| = 142
|-142| = 142
Задача 2
Решение:
Для этого найдем модули каждого из них:
|-15| = 15
|-1| = 1
|4| = 4
|7| = 7
Модули чисел получились: 15, 1, 4, 7
Расположим эти числа в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому):
1, 4, 7, 15.
Получаем такую последовательность равенств,
|-1| = 1
|4| = 4
|7| = 7
|-15| = 15
Следовательно, числа в порядке возрастания их модулей должны располагаться так: -1, 4, 7, -15
Задача 3
На координатной прямой отметили две точки -73 и 68. Модуль какого числа больше?
Решение:
Представим, что на координатной прямой на определенном расстоянии от точки О (налала отсчета) отмечены две точки.
Слева от точки начала отсчета расположена точка с координатой -73
Справа от точки начала отсчета расположена точка с координатой 68
Расстояние от точки О до точки с координатой -73 содержит больше единичных отрезков, чем расстояние от точки О до точки с координатой 68 (т.е. координата точки -73 находится дальше от начала координат, чем точка с координатой 68).
Значит, модуль числа -73 больше модуля числа 68
|-73| = 73
|68| = 68
73 > 68, а это значит:
|-73| > |68|
Ответ: |-73| > |68|
Задача 4
Чему равны координаты этих точек?
Чему равен модуль каждой координаты?
Решение:
Построим координатную прямую, за начала отсчета примем точку О
Единичный отрезок равен 1 деление- 1 единица.
На координатной прямой отметим точки А и В
Точка А имеет координату A (-2), так как она отодвинута влево от точки О на расстояние в два единичных отрезка.
Точка В имеет координату В (6), так как она отодвинута вправо от точки О на расстояние в шесть единичных отрезков.
Получили точки с координатами A (-2) и В (6)
Модуль-это расстояние в единичных отрезках от заданной точки до начала отсчета.
|-2| = 2
Модуль 6 равен 6
|6| = 6
Ответ: Модули координат точек A (-2) и В (6) равны 2 и 6 соответственно.
Наверное, вы уже заметили, что значение координат может быть положительным и отрицательным, а модули только положительными.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации